Różnowartościowość funkcji z cechą

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
Majorkan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 128
Rejestracja: 14 paź 2007, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków/Jasło
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 33 razy

Różnowartościowość funkcji z cechą

Post autor: Majorkan » 14 paź 2007, o 19:28

Jak pokazać, że funkcja f jest różnowartościowa?
\(\displaystyle{ f(x)=x+[\frac{1}{x}]}\)
\(\displaystyle{ D_{f}=(0;1)}\)
(kwadratowy nawias oznacza cechę z liczby)
Dzięki za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Różnowartościowość funkcji z cechą

Post autor: scyth » 15 paź 2007, o 08:50

Najlepiej nie wprost:

Hp: a>b, f(a)=f(b)

Wtedy:
\(\displaystyle{ a+\left[\frac{1}{a}\right]=b+\left[\frac{1}{b}\right] \\
a-b=\left[\frac{1}{b}\right]-\left[\frac{1}{a}\right]}\)

Ponieważ prawa strona równości jest całkowita (różnica liczb całkowitych), prawa jest również liczbą całkowitą. Z kolei z faktu, że \(\displaystyle{ a,b (0,1)}\) wynika, że ich różnica \(\displaystyle{ a-b (-1,1)}\).
Zatem jedyną liczbą całkowitą jaką może przyjąć prawa (a zatem i lewa strona) jest 0. Ale wtedy:
\(\displaystyle{ a-b=0 \\
a=b}\)

ODPOWIEDZ