Matematyka.pl

Witam mam problem z zadaniem, nie wiem od czego zacząć, mimo kilku prób nie wychodzi. Czy mógłby mi ktoś powiedzieć, którego kryterium powinnam użyć, aby zbadać zbieżność poniżej podanego szeregu?

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{ \infty } \frac{(2n)!-n!}{n^{2n}-n^2} }\)

Ta suma powinna wyglądać inaczej, gdyż dla \(\displaystyle{ n=1}\) masz zero w mianowniku. Może miała być od dwójki.
Warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony, jak ktoś zna wzór Stirlinga, to jest to ewidentne, ale można też oszacować wyraz z dołu.
\(\displaystyle{ (2n)!-n!>\frac{1}{2}\cdot (2n)!}\) dla dużych \(\displaystyle{ n}\), no i \(\displaystyle{ n^{2n}-n^{2}<n^{2n}}\).

Premislav pisze: ↑12 maja 2020, o 12:15 Warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony, jak ktoś zna wzór Stirlinga, to jest to ewidentne[/latex].

Mi się wydaje, że jest spełniony i ogólnie ten szereg jest zbieżny. Ze Stirlinga dostajesz coś rzędu \(\displaystyle{ \sqrt{n}\left(\frac{2}{e}\right)^{2n} \to 0}\)

O matko, nie wiem, jak ja na to patrzyłem.

Rzeczywiście, no to można zastosować kryterium ilorazowe z \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{n^{2n}}}\), a to już z kryterium d'Almeberta idzie.

Można oszacować od góry ten szereg (ma on wartości dodatnie)

\(\displaystyle{ \frac{(2n)!-n!}{n^{2n}-n^2} < \frac{(2n)!}{n^{2n}} }\)

Drugi szereg jest zbieżny z kryterium ilorazowego, a więc i ten pierwszy też jest zbieżny, bo jest mniejszy od niego i dodatni.

Szustarol pisze: ↑12 maja 2020, o 12:29 Można oszacować od góry ten szereg (ma on wartości dodatnie)

\(\displaystyle{ \frac{(2n)!-n!}{n^{2n}-n^2} < \frac{(2n)!}{n^{2n}} }\)

Drugi szereg jest zbieżny z kryterium ilorazowego, a więc i ten pierwszy też jest zbieżny, bo jest mniejszy od niego i dodatni.

A jak uzasadnisz takie szacowanie?