iloczyn ideałów

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
BraveMaind
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 14 paź 2007, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

iloczyn ideałów

Post autor: BraveMaind » 14 paź 2007, o 19:09

Bradzo prosze o przykład pokazujący ze iloczyn ideałów nie musi być ideałem. Iloczyn w ty przypadku definiujemy jako zbiór iloczynów elementu z jednego ideału przez element drugiego ideału. Brdzo prosze o pomoc , przykład jest mi bardzo potrzebny a w necie nie mogłem go znależć mimo licznych prób..
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

iloczyn ideałów

Post autor: andkom » 14 paź 2007, o 20:02

Nie trzeba szukać w sieci, lecz w głowie

Jak rozumiem, szukamy pierścienia (powiedzmy, że przemiennego z jedynką) \(\displaystyle{ R}\) i ideałów \(\displaystyle{ I_1,I_2\subset R}\) takich, że \(\displaystyle{ I_1\cdot I_2=\{a\cdot b:a\in I_1,b\in I_2\}R}\) nie jest ideałem w \(\displaystyle{ R}\).
Gołym okiem widać, że żaden spośród ideałów \(\displaystyle{ I_1}\) i \(\displaystyle{ I_2}\) nie może być wówczas główny, a zatem \(\displaystyle{ R}\) nie może być pierścieniem ideałów głównych.
Weźmy zatem np. \(\displaystyle{ R=\mathbb Z[x]}\) - pierścień ideałów jednej zmiennej, o współczynnikach całkowitych. Niech \(\displaystyle{ I_1=I_2}\) będzie jakimś ideałem niegłównym, na przykład ideałem generowanym przez 2 i x. Elementami takiego ideału są wielomiany o współczynnikach całkowitych i parzystym wyrazie wolnym. Sprawdzimy, czy \(\displaystyle{ I_1\cdot I_2}\) jest ideałem. Mamy \(\displaystyle{ 4=2\cdot2\in I_1\cdot I_2}\) oraz \(\displaystyle{ x^2=x\cdot x\in I_1\cdot I_2}\). Zatem, gdyby \(\displaystyle{ I_1\cdot I_2}\) było ideałem, to mielibyśmy \(\displaystyle{ x^2+4\in I_1\cdot I_2}\), a tak nie jest, bo \(\displaystyle{ x^2+4}\) jest nierozkładalny w \(\displaystyle{ r=\mathbb Z[x]}\), więc w szczególności nie jest iloczynem dwóch wielomianów o współczynnikach całkowitych i parzystym wyrazie wolnym. Zatem \(\displaystyle{ I_1\cdot I_2}\) nie jest ideałem.

BraveMaind
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 14 paź 2007, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

iloczyn ideałów

Post autor: BraveMaind » 18 paź 2007, o 10:44

Bardzo dziękuje za pomoc. Skłoniła mnie ona do wielu przemyśleń, bo dopiero zaczynam teorie pierścieni. Jeszcze raz dziękuje i mam prośbę o jeszcze jeden przykład, a może o przykład uogólniający jeżeli ktoś by znalazł. Otóż chodzi mi tym razem o iloczyn określony następująco :
\(\displaystyle{ i_{1}\cdot i_{2} + i^{`}_{1}\cdot i^{`}_{2}}\).
gdzie elementy o indeksie 1 nalezą do ideału \(\displaystyle{ I_{1}}\) , a te o indeksie 2 do ideału \(\displaystyle{ I_{2}}\). I podać przykład żeby tak określony iloczyn nie był ideałem. No a przykład ogólny to dla sumy n tak określonych czynników.

ODPOWIEDZ