Matematyka.pl

Dzień dobry proszę o pomoc z zadaniem. Nie wiem, czy mam dobrze.
Fiolkę obciążono i zanurzono w cieczy. Zaczęła się poruszać się ruchem harmonicznym o częstotliwości \(\displaystyle{ f=0,28Hz}\). Jej masa z obciążeniem to \(\displaystyle{ m=0,2kg}\), a średnica \(\displaystyle{ d=0,8cm}\). Oblicz gęstość cieczy.
Ja to zrobiłam tak
\(\displaystyle{ -m\omega ^{2}x=\rho _{c}\cdot g \cdot r^{2} \cdot \pi \cdot x}\)
\(\displaystyle{ \rho _{c}= \frac{-m\omega ^{2}}{qr^{2} \pi }
}\)
Mam dobrze czy źle? Wychodzi mi prawie dobrze, różnica między wynikiem w książce a moim wynosi \(\displaystyle{ 1-2}\), ale jednostki się zgadzają.

To może tak od początku bo ja wyniku nie pamiętam Jak zanurzysz fiolkę tak, żeby była w spoczynku to będzie ona zanurzona na pewną głębokość \(\displaystyle{ x_0}\). Wypadkowa siły ciężkości i wyporu będzie równa zeru:
\(\displaystyle{ mg=\rho_c gSx_0}\)
gdzie \(\displaystyle{ S}\) to pole przekroju poprzecznego (podstawię wzór na końcu). Teraz jak fiolkę zanurzysz trochę bardziej, to siła wyporu wzrośnie i wypadkowa będzie skierowana do góry. Załóżmy, że zanurzyłaś o dodatkowe \(\displaystyle{ x}\). Wtedy wypadkowa siła będzie równa:
\(\displaystyle{ F_{wyporu}'-mg=\rho_c gS(x_0+x)-mg=\rho_c gSx}\)
gdzie skorzystałem z pierwszej równości i podstawiłem za \(\displaystyle{ mg}\) wiadomo co. Dostajemy zatem siłę, która jest proporcjonalna do wychylenia \(\displaystyle{ x}\), czyli faktycznie układ będzie poruszał się ruchem harmonicznym.
Równanie ruchu:
\(\displaystyle{ ma=-\rho_c gSx}\)
przekształcamy do postaci
\(\displaystyle{ a+\frac{\rho_c gS}{m}x=0}\)
skąd porównując z ogólnym równaniem oscylatora harmonicznego:
\(\displaystyle{ a+\omega^2x=0}\)
dostajemy:
\(\displaystyle{ \omega^2=\frac{\rho_c gS}{m}}\)
Gęstość cieczy jest równa:
\(\displaystyle{ \rho_c=\frac{m\omega^2}{gS}=\frac{m4\pi^2f^2}{g\frac{d^2}{4}\pi}=\frac{16m\pi f^2}{gd^2}}\)

Patrząc na Twój wynik to wyszło praktycznie to samo (pomijając minusa, którego nie powinno tam być).

Eh, czyli mam źle jak zwykle. Niewiele zrozumiałam z Pańskiego rozwiązania, ale dzięki za pomoc.

Niepokonana pisze: 10 maja 2020, o 16:52 Niewiele zrozumiałam z Pańskiego rozwiązania

To powiedz czego konkretnie nie rozumiesz, bo wydaje mi się ono całkiem elementarne. Zrób rysunek może, zaznacz siły jakie działają, pomyśl dlaczego to w ogóle będzie się poruszać ruchem harmonicznym. I powiedz dlaczego rozwiązałaś to tak a nie inaczej? Skąd ten wzór wzięłaś? Musiałaś chyba przeprowadzić jakieś rozumowanie.

AiDi pisze: 10 maja 2020, o 16:24

\(\displaystyle{ F_{wyporu}'-mg=\rho_c gS(x_0+x)-mg=\rho_c gSx}\)
gdzie skorzystałem z pierwszej równości i podstawiłem za \(\displaystyle{ mg}\) wiadomo co. Dostajemy zatem siłę, która jest proporcjonalna do wychylenia \(\displaystyle{ x}\), czyli faktycznie układ będzie poruszał się ruchem harmonicznym.
Równanie ruchu:
\(\displaystyle{ ma=-\rho_c gSx}\)
przekształcamy do postaci
\(\displaystyle{ a+\frac{\rho_c gS}{m}x=0}\)
skąd porównując z ogólnym równaniem oscylatora harmonicznego:
\(\displaystyle{ a+\omega^2x=0}\)

Moje rozumowanie jest beznadziejne, założyłam, że siła wyporu to siła sprężystości i przyrównałam.
Zacytowane części to te, których nie rozumiem.
No, dla mnie to nie jest elementarne. Miałam wielką nadzieję, że nie będę musiała nic rysować.

Musisz rozumieć sytuację, a nie podstawiać co się da i gdzie się da. Najpierw narysuj fiolkę w sytuacji w której pływa statecznie. Działają na nią dwie siły - ciężkości i wyporu. W tej sytuacji się one równoważą. Żeby fiolka zaczęła drgać musisz ją zanurzyć dodatkowo ponad to co jest zanurzona w sytuacji statycznej. Dalej będą na nią działały dwie siły, ale tym razem siła wyporu będzie większa niż siła ciężkości. I dopiero ta dodatkowa siła wyporu będzie powodowała ruch harmoniczny, bo będzie skierowana do góry, przeciwnie niż "wychylenie" czyli zanurzenie fiolki w dół i jak się okazuje z rachunków, jest ona proporcjonalna do tego "wychylenia" - czyli tak jak siła sprężystości. Czy do tej pory to jest jasne? Jak tak to zapisz równowagę sił w sytuacji statycznej (moje pierwsze równanie), a potem wypadkową sił po dodatkowym zanurzeniu. Podstaw następnie pierwsze z równań do drugiego.

To naprawdę trudne dla mnie, ale zobaczmy.
Najpierw fiolka była w spoczynku \(\displaystyle{ mg=\rho _{c}\cdot gV}\)
A potem w spoczynku nie była \(\displaystyle{ \rho _{c}\cdot gV'-mg=ma}\)
Dobrze? Chociaż mnie zastanawia, dlaczego ta fiolka się w ogóle zanurzyła głębiej. Czy ją przyciśnięto, czy sama zaczęła się bujać w wodzie?
A, jeszcze trzeba objętość rozpisać.
\(\displaystyle{ \rho _{c}\cdot g\cdot \pi \cdot r^{2}(x_{0}+x)- \rho _{c}\cdot g\cdot \pi \cdot r^{2} x_{0}=ma}\)

Niepokonana pisze: 10 maja 2020, o 17:52 Dobrze?

Tak.

Chociaż mnie zastanawia, dlaczego ta fiolka się w ogóle zanurzyła głębiej.

Bo przyszłaś i ją palcem zanurzyłaś

\(\displaystyle{ \rho _{c}\cdot g\cdot \pi \cdot r^{2}(x_{0}+x)- \rho _{c}\cdot g\cdot \pi \cdot r^{2} x_{0}=ma}\)

Tak tylko musisz sobie sztucznie po lewej przed całością wziętą w nawias dostawić minusa, żeby było dobrze wektorowo - siła jest przeciwnie skierowana niż zanurzenie, czyli \(\displaystyle{ x}\). Uporządkuj to teraz i dostaniesz coś postaci \(\displaystyle{ -kx=ma}\). Zobacz ile to \(\displaystyle{ k}\) wyniesie i podstaw do wzoru: \(\displaystyle{ m\omega^2=k}\). Ogólnie to Twój wzór końcowy był dobry, tylko nie wiem czy zwracasz uwagę na to, że w zadaniu jest dana średnica a nie promień fiolki.

Umiem sobie zamienić średnicę na promień i odwrotnie.
Czyli mam zrobić minusa przed wszystkim?

Tak. Ten minus jest taki bardziej ideowy niż potrzebny rachunkowo. Najważniejsze to dobrze odczytać \(\displaystyle{ k}\).

\(\displaystyle{ -(\rho _{c}\cdot g\cdot \pi \cdot r^{2}(x_{0}+x)- \rho _{c}\cdot g\cdot \pi \cdot r^{2} x_{0})=ma}\)
\(\displaystyle{ -\rho _{c}\cdot g\cdot \pi \cdot r^{2}x=ma}\), bo te liczby z \(\displaystyle{ x_{0}}\) się zredukują.
\(\displaystyle{ k=\rho _{c}\cdot g\cdot \pi \cdot r^{2}
}\)

Tak.

I co teraz? Nie mamy przyśpieszenia, ale mamy częstotliwość i możemy to przerobić na omegę i potem przyśpieszenie, ale nie wiem, czy to coś da.

A po co Ci przyspieszenie? \(\displaystyle{ m\omega^2=\rho_c g\pi r^2}\), \(\displaystyle{ \omega=2\pi f}\) i szukasz \(\displaystyle{ \rho_c}\).

No to teraz tylko poprzestawiać literki... \(\displaystyle{ \rho _{c}= \frac{4mf^{2}\pi }{gr^{2}} }\)