Widzisz, to nie jest takie proste. Tam są jeszcze kwantyfikatory.
Po pierwsze, zastanawiam się, po co tu indukcja. Tę równość pokazuje się w jeden linijce korzystając z definicji symbolu Newtona
\(\displaystyle{ {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}\). Albo w dwóch linijkach korzystając z interpretacji kombinatorycznej tegoż symbolu.
Po drugie, twierdzenie w treści zadania brzmi, formalnie rzecz biorąc, tak:
\(\displaystyle{ (\forall n\ge 1)(\forall 1\le k\le n){n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}}\) (zakładając, że
\(\displaystyle{ {n-1 \choose n}=0}\)).
Indukcja po
\(\displaystyle{ k}\) wygląda dość dziwnie o tyle, że musisz ustalić najpierw dowolne
\(\displaystyle{ n\in\NN, n\ge 1}\) i dla tego ustalonego
\(\displaystyle{ n}\) pokazywać indukcyjnie
\(\displaystyle{ (\forall 1\le k\le n){n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}}\), ale wtedy jest to dość skończona wersja indukcji - pokazujesz prawdziwość
\(\displaystyle{ \varphi(k)={n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}}\), gdzie
\(\displaystyle{ n}\) jest ustalone, a
\(\displaystyle{ k=1,...,n}\), więc indukcja urwie się po
\(\displaystyle{ n}\) krokach.
Inna wersja to indukcja po
\(\displaystyle{ n}\), czyli formułą dowodzoną indukcyjnie jest
\(\displaystyle{ \varphi(n)=(\forall 1\le k\le n){n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}.}\)
Ale w obu przypadkach nie bardzo widzę, jak wykorzystać "indukcyjność", bo dowód sprowadza się i tak do wykorzystania def. symbolu Newtona, a indukcja nic tutaj nie wnosi.
JK
PS
Mr Joker pisze: ↑9 maja 2020, o 18:27
Pomożecie z obliczeniem dla
\(\displaystyle{ k=k+1}\)?
Pomożemy:
\(\displaystyle{ 0=1}\) 