Jeżeli liczby a i b...

Problemy matematyczne "ubrane" w życiowe problemy.
aneczka234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 4 sty 2007, o 21:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wa
Podziękował: 2 razy

Jeżeli liczby a i b...

Post autor: aneczka234 » 14 paź 2007, o 18:55

udowodnij, że jeżeli liczby a i b są naturalne oraz liczba \(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a+b}\), to liczba \(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\)
z gory dzieki za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Jeżeli liczby a i b...

Post autor: Sylwek » 14 paź 2007, o 21:29

\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2=a^2+2ab+b^2-ab=(a+b)^2-ab}\)

Czyli żeby ta liczba była podzielna przez a+b, to liczba a*b musi być podzielna przez a+b. Możemy więc zapisać: \(\displaystyle{ ab=k(a+b)}\), gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Teraz spróbujemy coś pokombinować z naszą drugą liczbą:

\(\displaystyle{ a^4+b^4=a^4-2a^2b^2+b^4+2a^2b^2=(a^2-b^2)^2+2a^2b^2=(a-b)^2(a+b)^2+2(ab)^2= \\ =(a-b)^2(a+b)^2+2(k(a+b))^2=(a-b)^2(a+b)^2+2k^2(a+b)^2= \\ =(a+b)^2((a-b)^2+2k^2)}\)

Teraz to już chyba oczywiste

ODPOWIEDZ