Udowodnic tautologie za pomoca metody zero-jedynkowej

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
Opos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 12 paź 2007, o 15:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra

Udowodnic tautologie za pomoca metody zero-jedynkowej

Post autor: Opos » 14 paź 2007, o 18:54

\(\displaystyle{ (\neg p\Rightarrow p)\Rightarrow p}\)
\(\displaystyle{ (p\Rightarrow q)\Longleftrightarrow\neg p\vee q}\)
\(\displaystyle{ ((p\Rightarrow q)\wedge p)\Rightarrow q}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
magdabp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 29 razy

Udowodnic tautologie za pomoca metody zero-jedynkowej

Post autor: magdabp » 14 paź 2007, o 19:19

ad.1 jeśli \(\displaystyle{ p=1}\)
\(\displaystyle{ (0\Rightarrow 1) 1}\)
\(\displaystyle{ 1 1}\) prawda

ad.2 jeśli \(\displaystyle{ p=1, q=0}\)
\(\displaystyle{ (1 0) \iff 0\vee 0}\)
\(\displaystyle{ 0 \iff 0}\) prawda

ad.3 jeśli \(\displaystyle{ p=1, q=0}\)
\(\displaystyle{ ((1 0) 1) 0}\)
\(\displaystyle{ (0 1) 0}\)
\(\displaystyle{ 0 0}\) prawda

Opos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 12 paź 2007, o 15:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra

Udowodnic tautologie za pomoca metody zero-jedynkowej

Post autor: Opos » 14 paź 2007, o 19:23

a dlaczego rozpatrzylas tylko przypadki w ad.2 i ad.3 gdzie p=1, q=0 a nie rozpatrzylas reszty przypadkow? Zreszta w pierwszym przypadku tez rozwazylas tylko dla p=1? Moglabys mi to wytlumaczyc

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 28620
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4690 razy

Udowodnic tautologie za pomoca metody zero-jedynkowej

Post autor: Jan Kraszewski » 14 paź 2007, o 19:51

Cóż, dowód magdybp jest po prostu niekompletny. Istotnie trzeba rozpatrzyć jeszcze inne przypadki.
JK

Opos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 12 paź 2007, o 15:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra

Udowodnic tautologie za pomoca metody zero-jedynkowej

Post autor: Opos » 14 paź 2007, o 19:52

A moglbys mi rospisac pozostale przypadki?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 28620
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4690 razy

Udowodnic tautologie za pomoca metody zero-jedynkowej

Post autor: Jan Kraszewski » 14 paź 2007, o 19:57

Hej, spróbuj sam, to naprawdę nie jest trudne. W a) musisz sprawdzic jeszcze p=0, zaś w b) i c) p=q=0, p=q=1 i p=0,q=1. Jeśli za każdym razem wyjdzie Ci prawda - masz tautologię.
Potem zerknij np. na sieć i sprawdź, jak to rozumowanie zapisać w tabelce - w przyszłości zaoszczędzisz trochę czasu...
JK

Molas.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 14 paź 2007, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dom wariatów.

Udowodnic tautologie za pomoca metody zero-jedynkowej

Post autor: Molas. » 14 paź 2007, o 21:14

1. Korzystamy podwojnie z prawa eliminacji implikacji(najpierw eliminujemy implikacje w zaokraglonym, a pozniej w kwadratowym nawiasie): \(\displaystyle{ [(\neg p p) p] \iff [(p p) p )] \iff [(\neg p p) p ]}\)

Na koncu stosujemy juz tylko prawo rozdzielnosci koniunkcji wzgledem alternatywy, co daje nam: \(\displaystyle{ (\neg p p) (p p)}\)

Zeby to wyrazenie bylo tautologia, oba nawiasy - ze wzgledu na laczaca je koniunkcje - musza byc jednoczesnie prawdziwie. I tak jest w istocie, bez wzgledu na to, co tam wstawimy.

2. \(\displaystyle{ (p q) \iff p q}\)

Na lewej czesci rownowaznosci wykorzystujemy prawo eliminacji implikacji i wychodzi nam: \(\displaystyle{ \neg p q \iff p q}\). I na mocy zasady tozsamosci jest to tautologia.

3. Znowu korzystamy z prawa eliminacji implikacji, przez co wychodzi nam: \(\displaystyle{ [(\neg p q) p] p}\)

Stosujemy teraz prawo rozdzielnosci koniunkcj wzgledem alternatywy i mamy: \(\displaystyle{ [(p p) (p q)] p}\). A nastepnie znowy prawo eliminacji implikacji i mamy: \(\displaystyle{ (\neg p p) (\neg p q) p}\). Zeby to wyrazenie bylo tautologia, wystarczy, zeby tylko jedno z wyrazen polaczonych alternatywa bylo prawdziwe.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 28620
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4690 razy

Udowodnic tautologie za pomoca metody zero-jedynkowej

Post autor: Jan Kraszewski » 14 paź 2007, o 23:49

Molas. pisze:2. \(\displaystyle{ (p q) \iff p q}\)

Na lewej czesci rownowaznosci wykorzystujemy prawo eliminacji implikacji i wychodzi nam: \(\displaystyle{ \neg p q \iff p q}\). I na mocy zasady tozsamosci jest to tautologia.
Śliczny, klasyczny dowód przez założenie tezy... Molas, przecież treścią tego zadania jest właśnie udowodnienie prawa eliminacji implikacji!
JK
PS. Nawiasem mówiąc, pozostałe dwa "rozwiązania" też niewiele wnoszą...

ODPOWIEDZ