Matematyka.pl

Witam,
Wykładowca zadał mi następujący problem do udowodnienia.

\(\displaystyle{
a _{n} > 0, a _{n} \rightarrow a, a>0 \\
\lim_{ n \to \infty } ( a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot ... \cdot a_{n}) ^{ \frac{1}{n} } = a
}\)

Proszę o pomoc. Co mam rozumieć za \(\displaystyle{ a}\)? Jak można to udowodnić?

Dowód ten dostałem wraz z zadaniem obliczenia granicy \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }\left( \frac{1}{n} \cdot (n!) ^{ \frac{1}{n} } \right) }\), co mi wyszło, że jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{e} }\). Nie wiem, czy jest to w jakiś sposób powiązane.

Pozdrawiam

\(\displaystyle{ a}\) to po prostu jakaś stała dodatnia, która jest granicą ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\).

Można zauważyć, że dzięki ciągłości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \ln x}\) teza zadania jest równoważna
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}\ln a_{i}}{n}=\ln a}\), co natychmiast wynika z twierdzenia Stolza.
No ale nie wiem, czy znasz twierdzenie Stolza.
Można również wyprowadzić tę zależność bardziej elementarnie, na przykład bezpośrednio z definicji granicy.

To jak już masz tę granicę, możesz zapisać \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sqrt[n]{n!}=\sqrt[n]{\frac{n!}{n^{n}}}}\)
i zauważyć, że biorąc \(\displaystyle{ a_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}}\) i korzystając z udowodnionego faktu, od razu dostajesz wynik.