Matematyka.pl

Witam, mam problem z dwoma równaniami. Muszę je rozwiązać metodą uzmienniania stałej.

1. \(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}= \frac{1}{x\cos y+\sin2y}}\)

2. \(\displaystyle{ ydx − (3x + 1 + \ln(−y)) dy = 0, y(− \frac{1}{3} ) = 1}\)

Chodzi o to, że nie umiem przekształcić tych równan do postaci \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+p(x)y=f(x)}\).

Słyszałem o równaniu różniczkowym Clairauta i przekształciłem drugie równanie: \(\displaystyle{ y= \frac{dy}{dx}3x+\frac{dy}{dx}(\ln(-y)+1)}\), ale czy ta forma się zalicza pod to równanie Clairauta?

koosc pisze: 5 maja 2020, o 20:27 Witam, mam problem z dwoma równaniami. Muszę je rozwiązać metodą uzmienniania stałej.
2. \(\displaystyle{ ydx − (3x + 1 + ln(−y)) dy = 0, y(− \frac{1}{3} ) = 1}\)

Hmm ... . Tylko drugie z równań wygląda na równanie liniowe:\(\displaystyle{
x'-\frac{3}{y}x= \frac{1+\ln (-y)}{y} }\)
jednak problematyczny jest już warunek początkowy, gdyż leży poza dziedziną tego równania.

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}= \frac{1}{x\cos y+\sin 2y}\\
\frac{ \mbox{d}y}{\mbox{d}x}=x\cos y+\sin 2y\\
\frac{ \mbox{d}y}{\mbox{d}x}=x\cos y+2\sin y\cos y\\
\frac{ \mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\cos y\left( x+2\sin y\right) \\
\cos y\frac{ \mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\cos^2 y\left( x+2\sin y\right)\\
u=\sin y\\
\frac{ \mbox{d}u}{\mbox{d}x}=\cos y\frac{ \mbox{d}y}{\mbox{d}x}\\
\frac{ \mbox{d}u}{\mbox{d}x}=\left( 1-u^2\right)\left( x-2u\right) \\
\frac{ \mbox{d}u}{\mbox{d}x}=2u^3-xu^2-2u+x\\
}\)

a to równanie nie jest łatwo rozwiązać