Matematyka.pl

Udowodnić, że ciągi \(\displaystyle{ a_n = \frac{n(n+1)}{2} }\) i \(\displaystyle{ b_n= n+ \lfloor \sqrt{2n} + \frac{1}{2} \rfloor}\) są komplementarne tj. że
i) są silnie rosnące
ii) nie mają wspólnych wyrazów
iii) każda liczba naturalna jest wyrazem jednego z tych ciągów

edit: literówki

To może bez dużych twierdzeń: ścisła monotoniczność obu ciągów jest oczywista. Ponieważ wyrazy ciągu `a_n` to liczby trójkątne, odstępy pomiędzy kolejnymi wartościami wyrazów tego ciągu sa kolejnymi liczbami naturalnymi

Z kolei wyrazy ciągu `b_n` rosną o `1` gdy wyrażenie `\sqrt{2n}` nie jest liczbą całkowitą, a o dwa gdy jest. Łatwo sprawdzić, że odstępy pomiędzy dwiema takimi liczbami są odcinkami liczb naturalnych, których długości są równe kolejnym liczbom naturalnym. A zatem zbiór wartości ciągu `b` ma dokładnie taką strukturę jak zbiór "dziur" w zbiorze wartości ciągu `a`.

Wystarczy teraz sprawdzić co jest na początku, żeby się przekonać, że oba te zbiory się dopełniają.