Matematyka.pl

Zadanie
Zapytano grupę wybranych 10 studentów czy kiedykolwiek pracowali podczas studiów. Czworo odpowiedziało twierdząco. Na podstawie tej próby wyznacz estymator największej wiarygodności częstości \(\displaystyle{ p}\) - pracy studentów podczas studiów w populacji.
Wskazówka:
Jeśli założyć, że \(\displaystyle{ p}\) oznacza prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student pracował podczas studiów, to funkcja wiarygodności będzie prawdopodobieństwo z rozkładu dwumianowego.

Nie bardzo potrafię to zrobić, bo nie rozumiem wcale ten temat.
Będę wdzięczny za każdą pomoc!

Funkcja wiarygodności rozkładu dwumianowego

\(\displaystyle{ L( p, x) = {n\choose x} p^{x}(1-p)^{n-x} }\)

Logarytm naturalny funkcji wiarygodności

\(\displaystyle{ \ln L(p, x) = \ln{n \choose x} + x\ln(p) +(n-x)\ln(1-p) }\)

Pochodna logarytmu naturalnego funkcji wiarygodności względem \(\displaystyle{ p }\)

\(\displaystyle{ \frac{d \ln L(p, x))}{dp} = \frac{x}{p} - \frac{n-x}{1-p} = 0 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{x}{p} = \frac{n-x}{1-p} }\)

\(\displaystyle{ (1-p)x = p(n-x) }\)

\(\displaystyle{ x -px = np -px }\)

\(\displaystyle{ \hat{p} = \frac{x}{n} }\) - estymator największej wiarygodności rozkładu dwumianowego.

Wartość estymatora największej wiarygodności częstości \(\displaystyle{ p }\) pracy studentów podczas studiów na podstawie próby dziesięciu studentów

\(\displaystyle{ \hat{p} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.}\)