Matematyka.pl

Nie wiem jak to rozwiązać, proszę o pomoc.
Dla \(\displaystyle{ X\sim Pois(\lambda)}\) znaleźć \(\displaystyle{ E[X!] =1\cdot2\cdot\dots\cdot X}\) oraz \(\displaystyle{ X<\infty}\). Rozważyć przypadki na różne wartości \(\displaystyle{ \lambda}\).

Hint: Zmienna \(\displaystyle{ X!}\) jest skupiona na zbiorze \(\displaystyle{ \{n!:n\in\NN\}}\)

nadal nie rozumiem jak to rozwiązać

A znasz jakieś wzory na wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie dyskretnym? Chyba, że chcesz gotowca ?

Trochę się nad tym zastanawiałam, ale wydaje mi się żę zupełnie źle to robię:
\(\displaystyle{ E\left( x!\right) = \sum_{ i=1 }^{ \infty } x! \cdot \frac{\lambda ^{x!} }{(x!)!} \cdot e^{-x!} }\) i nie wiem co z tym zrobić

Źle jest. Choćby dlatego, że sumowanie jest po \(\displaystyle{ i}\), a pod sumą są iksy. Jeśli to literówka, to od razu mówię, że wzór jest niepoprawny.

Zacznijmy od tego, że gdy zmienna \(\displaystyle{ Y}\) jest skupiona na zbiorze przeliczalnym \(\displaystyle{ J}\), to

\(\displaystyle{ E[Y]=\sum_{j\in J}j\cdot \PP(Y=j)}\)

Zbiór, na którym zmienna \(\displaystyle{ X!}\) jest skupiona to jak pisałem wcześniej \(\displaystyle{ \{n!:n\in\NN\}}\). Sumę można zamienić więc na

\(\displaystyle{ E[X!]=\sum_{n=1}^{\infty}n!\cdot \PP(X!=n!)}\)

Trzeba uważać z zerem tutaj, a dla \(\displaystyle{ n\neq 0, x\neq 0}\) zachodzi

\(\displaystyle{ x!=n! \iff x=n}\)