Matematyka.pl

Mam problem z następującą granicą:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^{2} \sin(x)}{x^{2}+y^{2}} }\)
Z jednej strony, gdy liczę za pomocą współrzędnych biegunowych wychodzi mi 0, bo \(\displaystyle{ \sin(r \cdot \cos \alpha)}\), gdy \(\displaystyle{ r \to 0}\) wynosi 0. A z drugiej, gdy ograniczam
\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{x^{2}\sin(x)}{x^{2}+y^{2}} \right| \le \left| \frac{x^{2}}{x^{2}} \right| = 1}\)
I Wolfram mówi, że granica nie istnieje, więc nie wiem co tutaj się dzieje...

Granica istnieje i jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Proponuję zapisać w takiej postaci

\(\displaystyle{ \frac{x^2\sin(x)}{x^2+y^2} = \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{x^3}{x^2+y^2}}\)

i policzyć te dwie granice oddzielnie. Jeśli chodzi o współrzędne biegunowe, to z tym uważaj, bo \(\displaystyle{ \alpha = \alpha(r)}\), więc jeśli chcesz użyć tego argumentu, najlepiej znaleźć oszacowanie niezależne od \(\displaystyle{ \alpha}\) (co akurat tutaj nie jest trudne).

Nuna pisze: 1 maja 2020, o 13:31 Mam problem z następującą granicą:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^{2} \sin(x)}{x^{2}+y^{2}} }\)
Z jednej strony, gdy liczę za pomocą współrzędnych biegunowych wychodzi mi 0, bo \(\displaystyle{ \sin(r \cdot \cos \alpha)}\), gdy \(\displaystyle{ r \to 0}\) wynosi 0. A z drugiej, gdy ograniczam
\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{x^{2}\sin(x)}{x^{2}+y^{2}} \right| \le \left| \frac{x^{2}}{x^{2}} \right| = 1}\)
I Wolfram mówi, że granica nie istnieje, więc nie wiem co tutaj się dzieje...

masz nierówność \(\displaystyle{ \left| \sin x\right| \le \left| x\right| }\) wystarczy poprawić twoje szacowanie trochę oszukane

\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{x^{2}\sin(x)}{x^{2}+y^{2}} \right| \le \left| \frac{x^{3}}{x^{2}} \right| = \left| x\right| }\)