Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{(z-2)^n}{(-n)!}}\)

Wyszło mi, że promień zbieżności jest równy 0. Czy to znaczy, że jest zbieżny tylko w punkcie \(\displaystyle{ z_0 = 2}\) ? Jak obliczyć sumę tego szeregu ?

Wyszło mi, że promień zbieżności jest równy 0

Nie.

\(\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{(z-2)^n}{(-n)!} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(z-2)^{-n}}{n!} =\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( \frac{1}{z-2} \right) ^{n}}{n!} = e^{ \frac{1}{z-2} } -1 }\)

przy czym wzór ten działa dla \(\displaystyle{ z\in\CC \setminus \left\{ 2\right\} }\)