Całka potrójna współrzędne sferyczne.

[Abbion]

Mam problem z ustaleniem współrzędnych sferycznych dla całki:

\(\displaystyle{ \iiint \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} dx dy dz}\)

\(\displaystyle{ V: \{(x, y, z) \in \RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leqslant x, y \geqslant 0 \} }\)

Obszarem jest połowa sfery o promieniu równym \(\displaystyle{ 1}\). Sfera jest przesunięta na osi \(\displaystyle{ x }\) tak, że jej środek leży w punkcie \(\displaystyle{ (0.5, 0, 0) }\).
Próbowałem wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ r, \phi, \psi }\), ale wynik całki nie zgadza się z odpowiedzią podaną przez profesora \(\displaystyle{ \frac{\pi} {3} }\)

Wartości, które wyznaczyłem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \leqslant r \leqslant \sin(\phi) \\ 0 \leqslant \phi \leqslant \frac {\pi} {2} \\ 0 \leqslant \psi \leqslant \sin(2 \phi) \end{cases} }\)

Dodano po 25 minutach 35 sekundach:
Po chwili zastanowienia zauważyłem, że kąt \(\displaystyle{ \psi }\) musi być wyrażony w radianach, więc logicznie było by go zastąpić zakresem \(\displaystyle{ 0 \leqslant \psi \leqslant \pi }\), ale wtedy wynik też się nie zgadza.