Zadanie o graniastosłupie

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
buahaha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 14 paź 2007, o 16:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dzierżoniów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 7 razy

Zadanie o graniastosłupie

Post autor: buahaha » 14 paź 2007, o 17:45

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego pole jest równe 60. Przekroje osiowe tego graniastosłupa mają pola odpowiednio 60 i 72. Oblicz objętość graniastosłupa.
Kto mi powie jak rozwiązać to zadanie?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Poodzian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 62 razy

Zadanie o graniastosłupie

Post autor: Poodzian » 14 paź 2007, o 18:20

Problem polega na tym, że nie znamy wysokości (\(\displaystyle{ h}\)) i długości krawędzi podstawy (\(\displaystyle{ a}\)) zadanego graniastosłupa.
Możemy je jednak obliczyć, wykorzystując dane podane w zadaniu.

\(\displaystyle{ e}\) - krótsza przekątna podstawy rombu
\(\displaystyle{ f}\) - dłuższa przekątna podstawy rombu

\(\displaystyle{ P_{p}}\) - pole podstawy graniastosłupa
\(\displaystyle{ P_{a}}\) - pole pierwszego przekroju
\(\displaystyle{ P_{b}}\) - pole drugiego przekroju

Znamy wartości poszczególnych pól, co pozwala na stworzenie układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} P_{p}=60\\P_{a}=60\\P_{b}=72\end{cases}}\)
Co po odpowiednim rozpisaniu daje postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{e\cdot f}{2}=60\\e\cdot h=60\\f\cdot h=72\end{cases}}\)

Po rozwiązaniu takiego układu będziemy znali wszystkie trzy dotąd niewiadome
Teraz pozostaje obliczyć długość krawędzi podstawy. Wiemy, że w rombie obie przekątne przecinają się w połowie i tworzą ze sobą kąt prosty. Zatem wykorzystujemy pitagorasa:

\(\displaystyle{ a^{2}=(\frac{e}{2})^{2}+(\frac{f}{2})^{2}}\)
Potem wyliczone wielkości podstawiamy do wzoru na objętość graniastosłupa:
\(\displaystyle{ V=a\cdot a\cdot h}\)

ODPOWIEDZ