Matematyka.pl

Dane jest równanie
\(\displaystyle{ (m + 1)x^2 − 2(m − 3)x + m + 1 = 0}\).

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\)
a) liczba \(\displaystyle{ 1}\) leży między sumą różnych pierwiastków równania a sumą ich kwadratów ?
b) wartość bezwzględna przynajmniej jednego pierwiastka równania jest mniejsza od \(\displaystyle{ 0,9}\) ?

Założenia - aby istniały dwa różne pierwiastki.
a) warunki zapisać np w postaci układu nierówności i z Viete'a.
b) tu na nic nie wpadam - oprócz brute force - wyznaczyć pierwiastki w zależności od parametru i rozwiązać co chcą (ale raczej jest coś sympatyczniejszego).

To może coś napiszę o b)
Dla \(\displaystyle{ m=-1}\) równanie jest liniowe: \(\displaystyle{ -8x= 0}\) z pierwiastkiem \(\displaystyle{ x=0}\). Od Twojej interpretacji treści zadania zależy czy \(\displaystyle{ m=-1}\) wliczysz do jego rozwiązania.
Dla \(\displaystyle{ m \neq -1}\) równanie może mieć przyjemniejszą postać:
\(\displaystyle{ x^2 − \frac{2(m − 3)}{m+1}x +1 = 0}\)
Ponadto przyjmę że \(\displaystyle{ f(x)=x^2 − \frac{2(m − 3)}{m+1}x +1}\)
Są trzy opcje:
1) Tylko większy pierwiastek jest należy do przedziału \(\displaystyle{ \left( \frac{-9}{10},\frac{9}{10} \right) }\)
Warunek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(\frac{-9}{10} )<0 \\ f(\frac{9}{10} )>0 \end{cases} }\)
2) Tylko mniejszy pierwiastek jest należy do przedziału \(\displaystyle{ \left( \frac{-9}{10},\frac{9}{10} \right) }\)
Warunek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(\frac{-9}{10} )>0 \\ f(\frac{9}{10} )<0 \end{cases} }\)
3) Oba pierwiastki należą do przedziału \(\displaystyle{ \left( \frac{-9}{10},\frac{9}{10} \right) }\)
Warunek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(\frac{-9}{10} )>0 \\ f(\frac{9}{10} )>0 \\ \Delta >0 \\ \frac{-9}{10}< \frac{-b}{2a} <\frac{9}{10} \end{cases} }\)

A może ktoś poda coś szybszego?

Spróbowałam policzyć \(\displaystyle{ f(-0,9)<0}\), ale niestety wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{361m - 359}{20(m+1)}<0 }\) ;/

No to rozwiązać, np mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ 20(m+1)^2}\).

Co do tych przypadków w b). Wiemy, że gdy są dwa pierwiastki to \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2 =1}\) - zatem opcja 3) nie zajdzie.