Matematyka.pl

Mam problem z obliczeniem granicy poniższej funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to2 ^{-} } \arctg\left( \ln \frac{x ^{2} +1 }{(x-2) ^{4} } \right)}\)

Próbowałem liczyć samą granicę \(\displaystyle{ \left( \ln \frac{x ^{2} +1 }{(x-2) ^{4} } \right)}\), a wychodzi ona \(\displaystyle{ +\infty}\).
Jednak po dodaniu \(\displaystyle{ arctg}\) nic logicznego z tego nie wychodzi. Wynik granicy tej funkcji ma wynosić \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} }\), ale nijak nie mogę do tego dojść.
Chyba nie zauważam czegoś istotnego.

murka1997 pisze: 27 kwie 2020, o 22:15 Próbowałem liczyć samą granicę \(\displaystyle{ \left( \ln \frac{x ^{2} +1 }{(x-2) ^{4} } \right)}\), a wychodzi ona \(\displaystyle{ +\infty}\).

To dobrze wychodzi.

murka1997 pisze: 27 kwie 2020, o 22:15 Jednak po dodaniu \(\displaystyle{ \arctg}\) nic logicznego z tego nie wychodzi. Wynik granicy tej funkcji ma wynosić \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} }\), ale nijak nie mogę do tego dojść.
Chyba nie zauważam czegoś istotnego.

Co to znaczy "po dodaniu \(\displaystyle{ \arctg}\)". Policz granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty }\arctg t }\)

w roli \(\displaystyle{ t}\) występuje \(\displaystyle{ \ln \frac{x ^{2} +1 }{(x-2) ^{4} } }\). Liczenie tej granicy sprowadza się właściwie na oglądnięciu wykresu funkcji \(\displaystyle{ \arctg}\) który w \(\displaystyle{ \infty }\) klei się do \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} }\).