Matematyka.pl

Mam obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1+x^4}\mbox{d}x}\) za pomocą metod analizy zespolonej.

Rozważamy zatem funkcję \(\displaystyle{ f(z)=\frac{\mbox{Ln}z}{1+z^4}}\), gdzie w liczniku mamy gałąź główną logarytmu, a następnie ze względu na problem w \(\displaystyle{ z=0}\) dla ustalonych \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) i \(\displaystyle{ R>0}\) definiujemy kontur \(\displaystyle{ \Gamma_1 \cup \Gamma_2 \cup \Gamma_3 \cup \Gamma_4}\), gdzie kolejno \(\displaystyle{ \Gamma_1:=[\varepsilon, R]}\) (odcinek na osi rzeczywistej), \(\displaystyle{ \Gamma_2:=\left\{Re^{i\phi}: 0\leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}}\), \(\displaystyle{ \Gamma_3:=[i\varepsilon,iR]}\) (odcinek na osi urojonej) oraz \(\displaystyle{ \Gamma_4:=\left\{\varepsilon^{i\phi}: 0\leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}}\). Orientujemy kontur dodatnio względem wnętrza. Potem twierdzenie o residuach, wykonujemy odpowiednie rachunki, przechodzimy do granicy i wychodzi
\(\displaystyle{ (1-i)\int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1+x^4}\mbox{d}x+\frac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\frac{\mbox{d}x}{1+x^4}=\frac{\pi^2}{8}e^{i\frac{\pi}{4}}}\).

Wszystko fajnie, można teoretycznie porównać części urojone po obu stronach i mamy wynik, ale efektem ubocznym rachunków było pojawienie się jeszcze jednej całki, której wartości nie znamy (nie wiemy, że ona jest zbieżna i w konsekwencji nie jest oczywiste, że granica po lewej stronie na pewno istnieje). Wygląda na to, że muszę jeszcze teraz specjalnie policzyć tę drugą całkę, a że takie rozwiązanie wygląda na wyjątkowo długie i żmudne to zacząłem się zastanawiać czy to na pewno dobra droga. Może dałoby się zrobić to prościej lub bardziej elegancko?

Tę całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{\mbox{d}x}{1+x^{4}}}\)
można także obliczyć metodą residuów i z pewnością nie jest to bardzo żmudne, zwłaszcza gdy się zauważy parzystość funkcji podcałkowej. Ponadto do porównania części urojonych potrzebujesz, jak wspominasz, tylko jej zbieżności, a to przecież trywialne, można sobie np. użyć kryterium porównawczego z \(\displaystyle{ \frac{C}{(x+1)^{4}}}\)
Dobrą stałą \(\displaystyle{ C}\) sobie można wziąć z nierówności między średnimi potęgowymi albo dwukrotnego zastosowania \(\displaystyle{ a^2+b^2\ge\frac{(a+b)^2}{2}}\)
albo po prostu użyć kryterium porównawczego w wersji asymptotycznej i olać elementarne nierówności.

NB w definicji \(\displaystyle{ \Gamma_{4}}\) chyba miało być \(\displaystyle{ \varepsilon e^{i\phi}}\) ale to raczej literówka bez wpływu na rozwiązanie zadania. Poza tym taki kontur, jak napisałeś, jest dość naturalny.

Dzięki za odpowiedź (mimo, że spóźniona), jednak jakiś czas po dodaniu tego posta zauważyłem, że rzeczywiście zbieżność tej całki wynika trywialnie z kryterium porównawczego (najwyraźniej miałem jakieś zaćmienie umysłu, cokolwiek ).

W sumie nawet raczej jeszcze bardziej prosto niż proponujesz, gdyż całka \(\displaystyle{ \int_1^{\infty} \frac{\mbox{d}x}{1+x^4}}\) jest zbieżna, bo możemy ją porównać z całką \(\displaystyle{ \int_1^{\infty} \frac{\mbox{d}x}{x^4}}\). Natomiast na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) nasza funkcja jest ciągła i ograniczona.