Matematyka.pl

Mógłby ktoś wskazać mi, gdzie robię błąd?
Treść zadania:
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa \(\displaystyle{ \frac{4}{7}}\), a suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{35} }\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Liczę to w taki sposób:
\(\displaystyle{ \frac{a}{1-q} = \frac{4}{7} }\)
\(\displaystyle{ 7a = 4(1-q) }\)
\(\displaystyle{ q = \frac{4-7a}{4} }\)
\(\displaystyle{ \frac{aq}{1- q^{2} } = \frac{4}{35} }\)
\(\displaystyle{ 35aq = 4(1- q^{2}) }\)
\(\displaystyle{ 35a \cdot \frac{4-7a}{4} = 4\left(1 - \left( \frac{4-7a}{4}\right)^{2}\right) }\)
\(\displaystyle{ \frac{140-245a^{2}}{4} = 4 \left(1 - \left( \frac{16 - 56a + 49a^{2}}{16}\right)\right) }\)
\(\displaystyle{ \frac{140-245a^{2}}{4} = 4 \left( \frac{16 - 16 + 56a - 49a^{2}}{16}\right) }\)
\(\displaystyle{ 140 - 245a^{2} = 56a - 49a^{2} }\)
\(\displaystyle{ 196a^{2} + 56a - 140 = 0}\)
\(\displaystyle{ 7a^{2} + 2a - 5 = 0 }\)
\(\displaystyle{ a = -1}\) lub \(\displaystyle{ a = \frac{5}{7} }\)
Dla \(\displaystyle{ a = -1}\) wartość \(\displaystyle{ q }\) nie mieści się w przedziale \(\displaystyle{ (-1;1) }\), więc odrzucam to rozwiązanie. Zostaje więc \(\displaystyle{ a = \frac{5}{7} }\). Z kolei poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ a = \frac{3}{7} }\). Nie wiem, gdzie robię błąd...

`aq` nie jest pierwszym wyrazem o numerze o parzystym

qwerty355 pisze: 27 kwie 2020, o 12:04 Mógłby ktoś wskazać mi, gdzie robię błąd?
(...)
\(\displaystyle{ 35a \cdot \frac{4-7a}{4} = 4\left(1 - \left( \frac{4-7a}{4}\right)^{2}\right) }\)
\(\displaystyle{ \frac{140\color{red}{a} \color{black}{-245a^{2}}}{4} = 4 \left(1 - \left( \frac{16 - 56a + 49a^{2}}{16}\right)\right) }\)

Dopisałem brakujące a na czerwono
Inaczej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a}{1-q} = \frac{4}{7} \\ \frac{aq}{1-q^2}= \frac{4}{35} \end{cases}\\
\frac{q \cdot \frac{4}{7}(1-q) }{(1-q)(1+q)}= \frac{4}{35} \\
\frac{q }{1+q}= \frac{1}{5} \\
q= \frac{1}{4} \ \ \Rightarrow \ \ a= \frac{4}{7}(1-\frac{1}{4} )= \frac{3}{7} }\)

Dzięki za pomoc, nie zauważyłem, że zgubiłem "a"....

Dodano po 4 minutach 37 sekundach:

a4karo pisze: 27 kwie 2020, o 13:19 `aq` nie jest pierwszym wyrazem o numerze o parzystym

Dlaczego? Kolejne wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, ... }\) mogę zapisać jako \(\displaystyle{ a_1, a_1q, a_1q^{2}, ... }\), więc drugi wyraz ciągu (czyli pierwszy o numerze parzystym) to \(\displaystyle{ aq }\). W obliczeniach przyjąłem, że \(\displaystyle{ a = a_1 }\), żeby uniknąć ciągłego pisania indeksów.

Kwestia sformułowania zadania. Może być i tak: `a_0=a,\ a_1=aq,...,a_n=aq^n`. Ale jeżeli przyjąć Twoją konwencję, to oczywiście tak