jak zapisać dowód

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
juvex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 4 paź 2007, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ja mam wiedzieć ?
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 3 razy

jak zapisać dowód

Post autor: juvex » 14 paź 2007, o 17:17

mam takie zadanko: udowodnij indukcyjnie, że \(\displaystyle{ \forall n\in N}\) a to taki przykład:
8|\(\displaystyle{ 5^{n}}\) + \(\displaystyle{ 2 3^{n-1}}\) + 1
i ja zaczełem tak to rozwiązywać:
1) sprawdzenie dla n=1 i dla n=2 i się zgadza
2) założenie 8|\(\displaystyle{ 5^{n}}\) + \(\displaystyle{ 2 3^{n-1}}\) + 1 \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \exists k\in Z}\) \(\displaystyle{ 5^{n}}\) + \(\displaystyle{ 2 3^{n-1}}\) + 1 = 8k
3) teza 8|\(\displaystyle{ 5^{n+1}}\) + \(\displaystyle{ 2 3^{n+1-1}}\) + 1
i nie wiem jak zapisać dowód
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

jak zapisać dowód

Post autor: Piotr Rutkowski » 14 paź 2007, o 17:25

\(\displaystyle{ 5^{n+1}+2*3^{n}+1=5*(5^{n})+6*(3^{n-1})+1=3*(5^{n}+2*3^{n-1}+1)+2*5^{n}-2=3*8k+2(5^{n}-1)}\)
Teraz należy jeszcze udowodnić, że:
\(\displaystyle{ 4|(5^{n}-1)}\)
Korzystając z kongruencji mamy:
\(\displaystyle{ 5\equiv 1 \ (mod4)}\)
\(\displaystyle{ 5^{n}-1 \equiv 1^{n}-1 \equiv 0 \ (mod4)}\), co kończy nasz dowód , bo:
z naszego zapisu wynika, że:
\(\displaystyle{ 2*(5^{n}-1)=2*4s=8s}\) czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ 5^{n+1}+2*3^{n}+1=5*(5^{n})+6*(3^{n-1})+1=8k+8s=8(k+s)}\)

juvex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 4 paź 2007, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ja mam wiedzieć ?
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 3 razy

jak zapisać dowód

Post autor: juvex » 15 paź 2007, o 20:31

a skad sie wzieło s ? i czy nie mógłbyś zapisać to jakoś inaczej bez tego mod bo nie wiem co to jest i tego nie używamy

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

jak zapisać dowód

Post autor: Piotr Rutkowski » 15 paź 2007, o 21:40

Mamy tutaj tak jakby "dowód w dowodzie". Może to być dla Ciebie trochę mylące, ale wszystko jest w porządku. Chodzi o to, że w dowodzie dochodzimy do momentu, gdzie należy udowodnić, że \(\displaystyle{ 2*(5^{n}-1)=8s}\), czyli równoważnie, że:
\(\displaystyle{ 4|(5^{n}-1)}\) Chodzi o to, że nasz dowód zbiega się do tego, aby właśnie udowodnić tą ostatnią podzielność. Tą podzielność udowodniłem właśnie z kongruencji (spójrz do kompendium), ale można także na inny sposób. W tym momencie możesz także użyć indukcji, będzie to rodzaj wtedy "indukcji podwójnej" (tak jak tłumaczyłem, masz dowód w dowodzie)
A więc skoro nie chcesz z kongruencji, to udowodnię tę podzielność z indukcji:
Sprawdzasz dla n=1
Założenie:\(\displaystyle{ 5^{n}-1+4k}\)
Dowód:\(\displaystyle{ 5^{n+1}-1=5^{n}*5-1=5*(5^{n}-1)+4=5*4k+4=4(5k+1)=4s}\)
Czyli ostatecznie udowodniliśmy co trzeba było

juvex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 4 paź 2007, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ja mam wiedzieć ?
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 3 razy

jak zapisać dowód

Post autor: juvex » 16 paź 2007, o 16:04

a jak zrobić taki przykład: \(\displaystyle{ 10|3^{4n+2}+1}\) ??

ODPOWIEDZ