Matematyka.pl

Dzień dobry. Czy moglibyście mi powiedzieć jak obliczyć
\(\displaystyle{ res\left( \frac{1}{(z^{20}-1)(z-3),\infty} \right) }\)

Jedyną pokazaną metodą jest wykorzystanie wzoru który przekształca residuum w nieskończoności na residuum w zerze więc zakładam że da się go tutaj użyć.

Mój problem wynika z braku bieguna w 0 zatem \(\displaystyle{ k=0}\) więc we wzorze otrzymuje \(\displaystyle{ \frac{ \dd ^{-1}}{ \dd z^{-1}} }\). Więc albo mam policzyć całkę albo coś w definicji sprawia że wynik jest jasny (strzelam że albo nie istnieje residuum albo =0). Niestety nwm która z tych opcji jest prawidłowa.

Residuum to \(\displaystyle{ 0}\). Jeśli \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z^{20}-1)(z-3)}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{z^2}f\left( \frac{1}{z} \right) }\) ma w \(\displaystyle{ z=0}\) rozwinięcia w szereg zaczynające się od \(\displaystyle{ z^{19}}\) (przy wszystkich \(\displaystyle{ z^{k}}\) dla \(\displaystyle{ k \le 18}\) stoi zero) zatem przy \(\displaystyle{ z^{-1}}\) też stoi zero. Albo bez tego (to znaczy na \(\displaystyle{ \Res}\) w \(\displaystyle{ \infty }\)) wzoru można zauważyć, że dla dużych (w sensie modułu \(\displaystyle{ z}\)) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(z^{20}-1)(z-3)} \approx \frac{1}{z^{21}}}\)