Matematyka.pl

Witam, mam problem z zadaniem, gdzie muszę napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ x^{2}+2y^{2}+ z^{2} =1 }\), równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ x-y+2z=0}\)

Ktoś mógłby podpowiedzieć jak wyznaczyc punkt styczności?

Pozdrawiam

Napisz równanie stycznej w punkcie `(x_0,y_0,z_0)` i porównaj współczynniki płaszczyzn.

a4karo pisze: 24 kwie 2020, o 03:47 Napisz równanie stycznej w punkcie `(x_0,y_0,z_0)` i porównaj współczynniki płaszczyzn.

Czyli ich wektory normalne będą takie same?

Na tym właśnie polega styczność. (takie same z dokładnością do zwrotu)

Postawiłbym raczej na proporcjonalność wektorów normalnych.


PS
Co zabawne, zadanie można rozwiązać bez znajomości punktów styczności.
Układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+2y^{2}+ z^{2} =1 \\ x-y+2z+D=0 \end{cases} }\)
ma jeden punkt wspólny gdy równanie:
\(\displaystyle{ (y-2z-D)^2+2y^{2}+ z^{2} -1=0}\)
a ściślej:
\(\displaystyle{ 3y^2-2(2z+D)y+(2z+D)^2+z^2-1=0}\)
ma zerowy wyróżnik.
\(\displaystyle{ 0=4\left[(2z+D)^2-3((2z+D)+z^2-1) \right] \\
11z^2+8Dz+2D^2-3=0}\)
Tu także \(\displaystyle{ \Delta=0}\) więc \(\displaystyle{ D=- \sqrt{ \frac{11}{2} } \vee D= \sqrt{ \frac{11}{2} }}\)
Ostatecznie:
Istnieją dwie płaszczyzny spełniające warunki zadania: \(\displaystyle{ x-y+2z-\sqrt{ \frac{11}{2} }=0 }\) oraz \(\displaystyle{ x-y+2z+\sqrt{ \frac{11}{2} }=0 }\)

Dziękuję za odpowiedzi.
Jeszcze mam jedno pytanie co do równania powierzchni.
Gdy mam \(\displaystyle{ 2z= x^{2}+ y^{2} }\).To rozumiem, że jest to równanie w postaci uwikłanej, ale jeśli podzielę przez 2 to wtedy już wyznaczam płaszczyzne styczną ze wzoru dla postaci jawnej?

koosc pisze: 26 kwie 2020, o 02:01 Jeszcze mam jedno pytanie co do równania powierzchni.
Gdy mam \(\displaystyle{ 2z= x^{2}+ y^{2} }\).To rozumiem, że jest to równanie w postaci uwikłanej, ale jeśli podzielę przez 2 to wtedy już wyznaczam płaszczyzne styczną ze wzoru dla postaci jawnej?

a) Jeśli to kolejne zadanie to może przedstaw pełną jego treść. Dopiero wtedy można będzie jednoznacznie odpowiedzieć na stawiane pytania.


b) W pierwotnym zadaniu takie równanie nie występuje.
Niech \(\displaystyle{ F(x,y,z) =x^2+2y^2+z^2-1=0 }\)
Aby znaleźć punkty styczności porównujesz :
\(\displaystyle{ grad(F)=k \vec{n} }\)
a stąd:
\(\displaystyle{ \left[ 2x_0,4y_0,2z_0\right]=k\left[ 1,-1,2\right] \\
\begin{cases} 2x_0=k \\ 4y_0=-k \\ 2z_0=2k \end{cases} }\)
wyliczone sparametryzowane współrzędne punktu styczności wstaw do równania elipsoidy i wyznacz \(\displaystyle{ k }\) .
Znając wartość \(\displaystyle{ k}\) wylicz punkty styczności i równania płaszczyzn stycznych.

Nie, nie, to poprzednie zadanie już właśnie zrozumiałem, tylko chodziło mi o zadanie innego typu.
Na przykład, gdzie mam napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ 2z = x ^{2} + y ^{2}}\) w punkcie (2, 2, 4).
I po prostu nie wiem czy mam skorzystać z wzoru na postać uwikłaną, czy podzielić przez 2 i traktować jako postać jawną?

koosc pisze: 26 kwie 2020, o 20:08Nie, nie, to poprzednie zadanie już właśnie zrozumiałem, tylko chodziło mi o zadanie innego typu.

I dlatego w przyszłości jak będziesz chciał zadać nowe pytanie, to załóż nowy temat.

JK