Wielomiany pomocnicze w układach równań

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Wielomiany pomocnicze w układach równań

Post autor: Piotr Rutkowski » 14 paź 2007, o 16:35

Ostatnio sobie wygrzebałem jedno zadanko z jakiegoś kółka rok temu. Pamiętam, że należało użyć tutaj wielomianów pomocniczych, ale niestety zupełnie zapomniałem jak to ma wyglądać Jeśli ktoś mógłby przedstawić użycie wielomianów pomocniczych na tym przykładzie to byłbym wdzięczny :
\(\displaystyle{ a+b+c=2\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=14 \\ a^{3}+b^{3}+c^{3}=20}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

Wielomiany pomocnicze w układach równań

Post autor: andkom » 15 paź 2007, o 09:17

Ja bym robił tak:
\(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=\\
=x^3-2x^2+\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}2x-abc=x^3-2x^2-5x-abc=\\
=x^3-2x^2-5x-\frac{(a+b+c)^3+2(a^3+b^3+c^3)-3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}6=\\
=x^3-2x^2-5x+6}\)

Zatem a, b oraz c z naszego układu równań są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^3-2x^2-5x+6}\), czyli (z dokładnością do kolejności) są to liczby -2, 1, 3.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Wielomiany pomocnicze w układach równań

Post autor: Piotr Rutkowski » 15 paź 2007, o 18:43

Dziękuję za pomoc panie profesorze

ODPOWIEDZ