Zbieżność szeregu zespolonego
: 22 kwie 2020, o 12:06
Witam, czy jest to poprawnie rozwiązane?
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{3n+4in}{n+2})^{n^2} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{3n+4in}{3n+2})^{n^2}= \lim_{ n\to \infty } ( \frac{3+4i}{3+ \frac{2}{n} })^{n^2}= \infty }\)-(niespełniony warunek konieczny)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-i)^n}{n!} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(1-i)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(1-i)^n}= \lim_{n \to \infty } \frac{1-i}{n+1} =0<1 }\)-zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta
c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2i+3}{4i-3})^n}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{2i+3}{4i-3})^n} = \lim_{ n\to \infty} \frac{2i+3}{4i-3}=\frac{2i+3}{4i-3} \cdot \frac{4i+3}{4i+3}=-\frac{18i+1}{25}<1}\) -zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego
d) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+i}{\ln(1+n)} }\)-a tutaj brakuje mi pomysłu, obstawiam kryterium porównawcze, ale nie mogę wpaść na to co dalej
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{3n+4in}{n+2})^{n^2} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{3n+4in}{3n+2})^{n^2}= \lim_{ n\to \infty } ( \frac{3+4i}{3+ \frac{2}{n} })^{n^2}= \infty }\)-(niespełniony warunek konieczny)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-i)^n}{n!} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(1-i)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(1-i)^n}= \lim_{n \to \infty } \frac{1-i}{n+1} =0<1 }\)-zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta
c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2i+3}{4i-3})^n}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{2i+3}{4i-3})^n} = \lim_{ n\to \infty} \frac{2i+3}{4i-3}=\frac{2i+3}{4i-3} \cdot \frac{4i+3}{4i+3}=-\frac{18i+1}{25}<1}\) -zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego
d) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+i}{\ln(1+n)} }\)-a tutaj brakuje mi pomysłu, obstawiam kryterium porównawcze, ale nie mogę wpaść na to co dalej