Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\) liczba \(\displaystyle{ 4^{2n+1} + 3^{n+2}}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 13}\).

Dowód indukcyjny:
Sprawdzam dla \(\displaystyle{ n = 1}\)

\(\displaystyle{ 4^3 + 3^3 = 64 + 27 = 81 = 7 \cdot 13.}\)

Założenie indukcyjne: Dla dowolnie dobranego \(\displaystyle{ n \in N_+}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ 4^{2n+1} + 3^{n+2}}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 13.}\)

Sprawdzę teraz czy z założenia wynika, że \(\displaystyle{ 4^{2(n+1)+1} + 3^{(n+1)+2}}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 13}\).

\(\displaystyle{ 4^{2(n+1)+1} + 3^{(n+1)+2} = 4^{2n + 3} + 3^{n+3} = 16 \cdot 4^{2n+1} + 3 \cdot 3^{n+2} = 4^{2n+1} + 3^{n+2} + 15\cdot4^{2n+1} + 2 \cdot 3^{n+2}}\)
Pierwsze przejście jest oczywiste, w drugim przejściu rozbiłem potęgę na iloczyn dwóch potęg z podstawowej własności działań na potęgach, trzecie przejście to rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Idę dalej:
\(\displaystyle{ 4^{2n+1} + 3^{n+2} + 15\cdot4^{2n+1} + 2 \cdot 3^{n+2} = \left( 4^{2n+1} + 3^{n+2}\right) +\left( 2\cdot4^{2n+1} + 2 \cdot 3^{n+2}\right) + 13\cdot 4^{2n+1} =\\ = \left( 4^{2n+1} + 3^{n+2}\right) +2 \cdot \left(4^{2n+1} + 3^{n+2}\right) + 13 \cdot 4^{2n+1}.}\)

Uzyskujemy sumę trzech wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 13}\), dwie są z założenia indukcyjnego, a trzeci czynnik jest oczywistą krotnością \(\displaystyle{ 13}\) co kończy dowód.

Poprawnie rozwiązałem?

Tak, jest OK. Uwaga techniczna która ułatwia pisanie tego tupu rzeczy i nie pogubienia się w robaczkach:

Bran pisze: 19 kwie 2020, o 00:37 Założenie indukcyjne: Dla dowolnie dobranego \(\displaystyle{ n \in N_+}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ 4^{2n+1} + 3^{n+2}}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 13.}\)

Czyli istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ \blue{4^{2n+1} + 3^{n+2}=13k}}\) wtedy zamiast pisać:

\(\displaystyle{ 4^{2(n+1)+1} + 3^{(n+1)+2} = 4^{2n + 3} + 3^{n+3} = 16 \cdot 4^{2n+1} + 3 \cdot 3^{n+2} = 4^{2n+1} + 3^{n+2} + 15\cdot4^{2n+1} + 2 \cdot 3^{n+2}}\) ...

\(\displaystyle{ 4^{2n+1} + 3^{n+2} + 15\cdot4^{2n+1} + 2 \cdot 3^{n+2} = \left( 4^{2n+1} + 3^{n+2}\right) +\left( 2\cdot4^{2n+1} + 2 \cdot 3^{n+2}\right) + 13\cdot 4^{2n+1} =\\ = \left( 4^{2n+1} + 3^{n+2}\right) +2 \cdot \left(4^{2n+1} + 3^{n+2}\right) + 13 \cdot 4^{2n+1}}\)

wystarczy napisać

\(\displaystyle{ 4^{2(n+1)+1} + 3^{(n+1)+2} = 4^{2n + 3} + 3^{n+3} = \red{16} \cdot 4^{2n+1} + \green{3} \cdot 3^{n+2} = \red{13} \cdot 4^{2n+1} + \yellow{3} \cdot \blue{13k}}\)

Bran pisze: 19 kwie 2020, o 00:37Założenie indukcyjne: Dla dowolnie dobranego \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ 4^{2n+1} + 3^{n+2}}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 13.}\)

Chęci masz dobre, ale tak niestety nie wolno. To jest niepoprawnie sformułowane założenie indukcyjne - właśnie zrobiłeś klasyczne założenie tezy: skoro "Dla dowolnie dobranego \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ 4^{2n+1} + 3^{n+2}}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 13}\)", to koniec, bo właśnie prawdziwość tego zdania miałeś wykazać w rozważanym twierdzeniu...

W kroku indukcyjnym sprawdzamy, czy zachodzi jedno z założeń Zasady Indukcji Matematycznej, które wygląda w tym wypadku tak: \(\displaystyle{ (\forall n\in\NN_+)(\varphi(n) \Rightarrow \varphi(n+1))}\). Co oznacza, że dowód kroku indukcyjnego powinien zaczynać się tak:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN_+}\) takie, że \(\displaystyle{ 4^{2n+1} + 3^{n+2}}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 13}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ 4^{2n+3} + 3^{n+3}}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 13}\) itd.

JK