Matematyka.pl

Zbadać a)zbieżność punktową i b)jednostajną \(\displaystyle{ f_n(x)=nx^{n}(1-x)}\)
\(\displaystyle{ f_n:[0,1] \rightarrow R}\)
Stąd:
a) \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), dla \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\)
Stąd jest on zbieżny punktowo do funkcji zerowej.
b)\(\displaystyle{ d_ \infty(nx ^{n}(1-x),0) =sup_{x \in [0,1]}|nx ^{n}(1-x)|= nsup_{x \in [0,1]}|x^{n}(1-x)| }\). Teraz mam problem, nie potrafię wyznaczyć supremum. Wyznaczyłem punkt stacjonarny modułu, otrzymałem \(\displaystyle{ x= \frac{n}{n+1} }\), jednak nie wiem dalej jak znaleźć supremum. Prosze o pomoc.

Oblicz `f_n(n/(n+1))`

Wyznaczyłem iż jest to \(\displaystyle{ (\frac{n}{n+1}) ^{n+1} }\), więc jeżeli \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\) to dąży to do 0 i jest zbiezny jednostajnie. Czy jest to poprawna odpowiedź?
Bo zapisałem \(\displaystyle{ sup|nx^{n}(1-x)|=0 \rightarrow 0}\), a pewnie powinienem zapisać jako \(\displaystyle{ sup|nx^{n}(1-x)|=(\frac{n}{n+1}) ^{n+1} \rightarrow 0}\), mam rację?

A jesteś pewien, że to dąży do zera?

Pewny nie jestem, dlatego pytam

Granicą tego wyrażenia z pewnością nie jest zero. Z taką granicą raczej powinieneś być zaznajomiony:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=e^{-1}}\)

Dodano po 2 minutach 49 sekundach:
Taki ciąg ma dodatnie wyrazy, jest też rosnący, gdyż z Bernoulliego:
\(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{\frac{n+2}{n+1}}\ge 1-\frac{1}{n+2}\cdot \frac{n+2}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}}\)
więc nawet bez znajomości tej granicy dość jasnym jest, że nie dąży to do zera.

Jezu chryste, co ja zrobiłem. Dzięki za pomoc, musze bardziej uważać, bo wychodzą takie kwiatki.