Współczynniki iloczynu

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że wszystkie współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ W \left( x \right) = \left( x+ \frac{1}{1} \right) ... \left( x+ \frac{1}{n} \right) }\) są mniejsze od \(\displaystyle{ n}\)

[Dasio11]

Rozwiązanie:    

Teza zachodzi dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Wtedy suma wszystkich współczynników wynosi

\(\displaystyle{ W(1) = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n+1}{n} = n+1}\).

Ale współczynnik wiodący to \(\displaystyle{ 1}\), zatem pozostałe muszą sumować się do \(\displaystyle{ n}\). Wszystkie te współczynniki są dodatnie i jest ich przynajmniej dwie sztuki, wobec czego oczywiście muszą być ostro mniejsze niż \(\displaystyle{ n}\).