Matematyka.pl

Mam wielomian do rozłożenia na czynniki \(\displaystyle{ 2x^{5}+12x^{4}+4x^{3}-8x^{2}-6x-4}\) Jak się za to zabrać?

Najpierw poszukaj pierwiastków wśród liczb `1,-1,2, -2`

Na przykład \(\displaystyle{ W(-1) = 0. }\) Dzielimy wielomian przez \(\displaystyle{ (x + 1). }\)

Mógłby ktoś to rozwiązać żebym zobaczył jak to się robi bo chyba do tego nie dojdę.

Musisz nauczyć się samodzielnie dzielić wielomiany (przynajmniej jednym ze sposobów), bo nie rozwiążesz żadnego z tego typu zadań, tym samym nie nauczysz się rozwiązywać równań i nierówności wielomianowych.
Trochę własnej samodzielności.

Przy tak prostym wielomianie zamiast dzielenia możesz grupować:

\(\displaystyle{ 2x^{5}+12x^{4}+4x^{3}-8x^{2}-6x-4=2x^5+2x^4+10x^4+...=2x^4(x+1)+...}\)

JK

\(\displaystyle{ 2x^{5}+12x^{4}+4x^{3}-8x^{2}-6x-4=2x^{5}-2x^{3}+6x^{3}-6x+12x^{4}-12x^{2}+4x^{2}-4\\
2x^{5}+12x^{4}+4x^{3}-8x^{2}-6x-4=2x^{3}\left( x^{2}-1\right)+6x\left( x^{2}-1\right)+12x^{2} \left( x^{2}-1\right)+4\left( x^{2}-1\right)\\
2x^{5}+12x^{4}+4x^{3}-8x^{2}-6x-4=2\left( x^{2}-1\right) \left( x^{3}+6x^2+3x+2\right)=0\\
}\)

\(\displaystyle{ x^{3}+6x^2+3x+2=0\\
\left( x+2\right)^{3} =x^{3}+3 \cdot x^{2} \cdot 2+3 \cdot x \cdot 2^{2}+2^{3}\\
\left( x+2\right)^{3} =x^{3}+6x^{2}+12x+8
\left( x+2\right)^{3}-9\left( x+2\right)=\left( x^{3}+6x^{2}+12x+8\right) -\left( 9x+18\right)\\
\left( x+2\right)^{3}-9\left( x+2\right)= x^{3}+6x^{2}+3x-10\\
\left( x+2\right)^{3}-9\left( x+2\right)+12=x^{3}+6x^{2}+3x+2\\
\left( x+2\right)^{3}-9\left( x+2\right)+12=0\\
y=x+2\\
y^{3}-9y+12=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3-9\left( u+v\right) +12=0\\
u^3+3u^2v+v^3-9\left( u+v\right) +12=0\\
u^3+v^3+12+3\left( u+v\right)\left( uv-3\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+12=0 \\3\left( u+v\right)\left( uv-3\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-12 \\ uv-3=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-12 \\ uv=3 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-12 \\ u^3v^3=27 \end{cases} \\
t^2+12t+27=0\\
\left( t+6\right)^2-9=0\\
\left( t+9\right)\left( t+3\right)=0\\
x_{1}+2= -\sqrt[3]{3}- \sqrt[3]{9}\\
x_{1}=-2 -\sqrt[3]{3}- \sqrt[3]{9}\\

\begin{cases} -\left(2 +\sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{9} \right)+ x_{2}+x_{3}=-6\\
-\left(2 +\sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{9} \right)x_{2}x_{3}=-2
\end{cases} \\
\begin{cases} x_{2}+x_{3}=-4+\sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{9}\\ x_{2}x_{3}= \frac{2}{2 +\sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{9}} \end{cases} \\

}\)

\(\displaystyle{ W\left( x\right)=2\left( x+1\right)\left( x-1\right)\left( x+2 +\sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{9}\right)\left( x^2+\left( 4-\sqrt[3]{3}- \sqrt[3]{9}\right)x+ \frac{2}{2 +\sqrt[3]{3}+ \sqrt[3]{9}}\right) }\)