Matematyka.pl

Witam wszystkich potrzebuje pomoc z takim równaniem funkcyjnym:
\(\displaystyle{ f(x+y)=f(f(x))+y}\)
Moje rozwiązanie wygląda tak:
podstawiamy \(\displaystyle{ x+y=f(x)}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ f(f(x))=f(f(x))+f(x)-x}\)
co daje
\(\displaystyle{ f(x)=x}\)
Po sprawdzeniu okazuje się że funkcja spełnia podane równanie. Więc w czym problem? Nigdy nie używałem podstawienia, w którym występowała by szukana funkcja i nie wiem czy to dopuszczalne. Prosiłbym o zweryfikowanie odpowiedzi i jej ewentualną poprawę. Nawet jeśli rozwiązanie jest poprawne a ktoś znajdzie inne to chętnie poczytam!

jakub___ pisze: 9 kwie 2020, o 18:53 Moje rozwiązanie wygląda tak:
podstawiamy \(\displaystyle{ x+y=f(x)}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ f(f(x))=f(f(x))+f(x)-x}\)
co daje
\(\displaystyle{ f(x)=x}\)

To podstawienie przypomina bardziej zgadywanie rozwiązania, Jak ma się podstawienie do tego co wyszło czyli podstawiasz\(\displaystyle{ f(x)=x+y}\) a dostajesz? W sensie, że \(\displaystyle{ f(x)=x}\) (Twój wniosek) czyli \(\displaystyle{ x+y=x}\) zatem \(\displaystyle{ y=0}\). Pokazałeś, że \(\displaystyle{ f(x)=x}\) jest dobrą funkcją ale czy jedyną? Ja zauważyłem taką, rzecz: po prawej mamy wyrażanie symetryczne względem \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) zatem po lewej też powinno być symetrycznie czyli \(\displaystyle{ f(f(x))+y=f(f(y))+x}\) a to upraszcza się do:

\(\displaystyle{ \frac{f(f(x))-f(f(y))}{x-y}=1 }\)

oczywiście dla \(\displaystyle{ x \neq y}\). Gdy \(\displaystyle{ x \approx y}\) to wyrażanie powyżej oznacza, że pochodna \(\displaystyle{ f(f(x))}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Co oznacza, że \(\displaystyle{ f(f(x))=x+c}\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ c\in\RR}\)) kładąc to do początkowego równania dostaniemy:

\(\displaystyle{ f(x+y)=x+y+c}\)

Zatem

\(\displaystyle{ f(z)=z+c}\)

To podstawienie nie jest uprawnioen, bo zakłąda, że `y=f(x)-x`. A przecież obrazem funkcji `f(x)-x` wcale nie musi być cały zbiór liczb rzeczywistych.

Dodano po 1 minucie 50 sekundach:

Janusz Tracz pisze: 9 kwie 2020, o 19:31

\(\displaystyle{ f(z)=z+c}\)

\(f(x+y)=x+y+c\neq f(f(x))+y=f(x+c)+y=x+y+2c\)

a4karo dziękuję za czujność. Należy zatem jeszcze sprawdzić dla jakich stałych \(\displaystyle{ c}\) rozwiązanie jest faktycznie rozwiązaniem. Równość zajdzie jedynie dla \(\displaystyle{ c=0}\) czyli \(\displaystyle{ f(x)=x}\).

Inny sposób:

Wstawiamy \(\displaystyle{ x=0, y = f(0)}\), otrzymując \(\displaystyle{ f(f(0)) = f(f(0)) + f(0)}\), więc \(\displaystyle{ f(0) = 0}\).
Wstawiamy \(\displaystyle{ y=-x}\), otrzymując \(\displaystyle{ f(0) = f(f(x)) -x}\), więc \(\displaystyle{ f(f(x)) = x}\)
Wstawiamy powyższa do równania, otrzymując \(\displaystyle{ f(x+y) = x+y}\), więc \(\displaystyle{ f(x) = x}\)

Wg mnie ten problem jest przede wszystkim tak se postawiony. Nie wiadomo, co w/na co jest odwzorowywane, nie wiadomo, czy są jakieś dodatkowe dane o naturze szukanej funkcji. Jeżeli nie mamy różniczkowalności, to nie można z niej skorzystać. Jeżeli \(\displaystyle{ 0,f(0)}\) są w dziedzinie, to wystarczy jak wyżej, ale tego na razie nie wiemy.

bosa_Nike pisze: 9 kwie 2020, o 20:00 Jeżeli nie mamy różniczkowalności, to nie można z niej skorzystać.

Tylko, że ja nie założyłem różniczkowalności tylko samoistnie okazało się, że \(\displaystyle{ f\circ f}\) ma w każdym punkcie dziedziny pochodną równą \(\displaystyle{ 1}\).

A przypadkiem nie potrzebujesz do tego ciągłości? A co np. z dyskretną dziedziną?

Ciągłość wynika z różniczkowalności (dlatego już o tym nie pisałem). Pokazałem, że funkcja \(\displaystyle{ f\circ f}\) dla dowolnych (różnych od siebie) \(\displaystyle{ x,y}\) spełnia warunek

\(\displaystyle{ \frac{f(f(x))-f(f(y))}{x-y}=1}\)

zatem dla dolnego \(\displaystyle{ x_0}\) mamy

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} \frac{f(f(x))-f(f(x_0))}{x-x_0} \cdot \left( x-x_0\right) = 1 \cdot 0 =0 }\)

czyli po przekształceniu

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(f(x))=f(f(x_0))}\)

W żadnym miejscy nie zakładam różniczkowalni ani ciągłości. Jedynie sam fakt iż funkcja spełnia takie a nie inne zależności pozwala wnioskować o ciągłości i różniczkowalności. Jeśli o dziedzinę chodzi to nie zmieni ona wyniku (w senie wzoru funkcji). Jeśli więc nawet dziedzina była by dyskretna to funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x}\) obcinamy do ów dziedziny.

Ops, zapomniałem o reszcie treści funkcja jest oczywiście \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR }\) a podane wcześniej równanie spełnia dla każdego
\(\displaystyle{ x,y \in \RR}\)

Janusz Tracz pisze: 9 kwie 2020, o 19:31

jakub___ pisze: 9 kwie 2020, o 18:53 Moje rozwiązanie wygląda tak:
podstawiamy \(\displaystyle{ x+y=f(x)}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ f(f(x))=f(f(x))+f(x)-x}\)
co daje
\(\displaystyle{ f(x)=x}\)

To podstawienie przypomina bardziej zgadywanie rozwiązania

Na tym często polega rozwiązywanie równań funkcyjnych , szczególnie tych ze szkolnych konkursów, ale ciągle ciekawi mnie czy to podstawienie, nawet jeśli trochę niedbałe, to czy jest poprawne, za rozwiązania i dyskusje bardzo dziękuje oczywiście.

Na tym często polega rozwiązywanie równań funkcyjnych

Tak ale nie polega to na nieuprawnionym założeniu którego nie poddajemy późniejszej weryfikacji.

ale ciągle ciekawi mnie czy to podstawienie, nawet jeśli trochę niedbałe, to czy jest poprawne

Ono nie jest niedbałe tylko niepoprawne niestety. Jest ogólnie nieuprawnione tak jak a4karo wspomniał oraz zakłada pewną postać funkcji \(\displaystyle{ f}\) (która to dopiero potem okazuje się być słuszna).

@Janusz Tracz - niestety, nie mogę się zgodzić z tym, co piszesz trzy posty wyżej. Funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{N}\to\mathbb{N}}\) o wzorze \(\displaystyle{ f(x)=x}\) spełnia równanie z pierwszego postu, ale nie jest ciągła, no i nie jest różniczkowalna. A skoro spełnia to równanie, to wg Twojego rozumowania powinna być, bo wszystkie funkcje spełniające to równanie mają taką naturę. To, co ty robisz, to właśnie założenie ciągłości, by uzyskać różniczkowalność. W dalszej części posta argumentujesz wnioskując w przeciwną stronę.

Janusz Tracz pisze: 9 kwie 2020, o 20:43 Jeśli więc nawet dziedzina była by dyskretna to funkcję f(x)=x obcinamy do ów dziedziny.

Żeby obciąć, trzeba najpierw rozszerzyć (nawet milcząco), więc tu masz założenie ciągłości też zamanifestowane.

PS Mam trzy problemy z tym cytatem, w tym jeden śmiertelnie poważny, ale niech tam...

Oczywistym jest, że podstawienie \(\displaystyle{ x+y = f(x)}\) polega na dobraniu odpowiedniego \(\displaystyle{ y}\) do ustalonego \(\displaystyle{ x}\), co zawsze da się zrobić, zatem rozwiązanie jest w stu procentach poprawne, a nawet - ośmielam się twierdzić - optymalne.

A jeśli chodzi o wątek poboczny:

bosa_Nike pisze: 9 kwie 2020, o 21:32To, co ty robisz, to właśnie założenie ciągłości, by uzyskać różniczkowalność.

to rozwiązanie Janusza Tracza jest poprawne przy obwieszczonym później założeniu, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, ale zupełnie nie widzę, jak to założenie zastąpić ciągłością. Możesz mi to wyjaśnić?

bosa Nike pisze:Funkcja \(\displaystyle{ \NN\rightarrow \NN}\) o wzorze \(\displaystyle{ f(x)=x}\) spełnia równanie z pierwszego postu, ale nie jest ciągła, no i nie jest różniczkowalna.

Że nie jest różniczkowalna, to się zgodzę, ale ciągła jest, choć to trochę nieintuicyjne. Więcej: bezpośrednio z definicji ciągłości wynika, że dowolna \(\displaystyle{ f: \NN \mapsto D}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \RR}\) (rozpatrywanego z metryką euklidesową ofc), jest funkcją ciągłą.

Żeby obciąć, trzeba najpierw rozszerzyć (nawet milcząco), więc tu masz założenie ciągłości też zamanifestowane.

Tak, milcząco założyłem, że dziedzina to \(\displaystyle{ \RR}\) ale nie rozumiem dlaczego miało by to jakiś wpływ na ciągłość. Ciągłość wynika z kształtu samego równana, z jego własności. Nigdzie też nie stwierdziłem, że niepodanie dziedziny przez autora (na początku) jest słuszne czy, że dziedzina wynika z własności równania. Zgadzam się z Tobą, że dziedzina powinna być od samego początku ale jeśli o ciągłość i różniczkowalność chodzi to samo równanie gwarantuje takową (przy rozszerzonej do \(\displaystyle{ \RR}\) dziedzinie).