Matematyka.pl

Pokazać, że funkcja rzeczywista \(\displaystyle{ f}\) określona na zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego \(\displaystyle{ G \subset \mathbb{R}}\) zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}(G)}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.

W dowodzie implikacji w trudniejszą stronę rozważ rodzinę

\(\displaystyle{ \{ B \subseteq \RR : f^{-1}[{B}] \text{ jest mierzalny w sensie Lebesgue'a} \}}\)

i wykaż, że jest to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało zawierające wszystkie otwarte podzbiory \(\displaystyle{ \RR}\), a więc zawierające wszystkie zbiory borelowskie.