Matematyka.pl

Jeśli funckja ciągła \(\displaystyle{ f : A \rightarrow \mathbb{R}}\) określone na podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{R}}\) jest 1-1, to \(\displaystyle{ f(A)}\) jest podzbiorem otwartym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i odwzorowanie odwrotne \(\displaystyle{ f^{−1} : f (A) \rightarrow A}\) jest ciągłe.

Prosiłbym o sprawdzenie mojego dowodu i ewentualne wskazówki:

Mamy pokazać ze \(\displaystyle{ f(A)}\) jest otwarty. Załóżmy bez stracenia ogólności ze funkcja jest rosnąca (1-1 i ciągła). Załóżmy nie wprost ze \(\displaystyle{ f(A)}\) jest domknięte. Czyli \(\displaystyle{ f(A) = [a, b]}\). Istnieje jedno \(\displaystyle{ x}\) takie, ze \(\displaystyle{ f(x) = b}\). Czyli \(\displaystyle{ (\forall p \in A) f(p) \le f(x)}\). Ale \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty wiec dla wystarczająco małego \(\displaystyle{ k}\), istnieje \(\displaystyle{ x + k \in A}\).
\(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca wiec \(\displaystyle{ f(x+k) > f(x) = b}\) sprzeczność.

Do drugiego elementu dowodu mam większe wątpliwości:

Wiemy ze funkcja jest ciągła czyli: \(\displaystyle{ (\forall x_0 \in A)(\forall x_n \subset A)\left[ \lim_{n \rightarrow \infty }x_n = x_0 \rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty }f(x_n) = f(x_0)\right] }\). Dla dow. \(\displaystyle{ y \in f(A)}\) mamy dokładnie 1 \(\displaystyle{ x}\) taki ze \(\displaystyle{ f(x) = y}\).
Mamy ciąg \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\), czyli mamy ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\). Czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty }f^{-1}(f(c_n)) = \lim_{n \rightarrow \infty }c_n = x = f^{-1}(f(x))}\) Czyli funkcja odwrotna jest ciągła.(?)

Proszę o sprawdzenie, dziękuję.

Założyłeś, że funkcja jest ściśle monotoniczna. Ale to trzeba uzasadnić

Dodano po 2 minutach 30 sekundach:
Popatrz jak się zachowuje funkcja na prawo i lewo od maksimum i skorzystaj z własności Darboux

Czy po uzasadnieniu tego założenia dowód jet poprawny?

NIe Nie możesz zakładać, że `x_n\to c`, bo wychodzisz od tego, co masz udowodnić. Musisz wybrać dowolny punkt `y` w obrazie funkcji, dowolny ciąg `y_n` zbieżny do niego i pokazać, że `f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y)`

Tu też są błędy:

terefere123 pisze: 6 kwie 2020, o 20:33Mamy pokazać ze \(\displaystyle{ f(A)}\) jest otwarty. [...] Załóżmy nie wprost ze \(\displaystyle{ f(A)}\) jest domknięte. Czyli \(\displaystyle{ f(A) = [a, b]}\).

Założenie nie wprost to negacja tezy, że \(\displaystyle{ f(A)}\) jest otwarty. Ani nie wynika stąd, że ten zbiór jest domknięty, ani też z domkniętości nie wynika, że jest on przedziałem domkniętym.

Ponadto ciekaw jestem, w jaki sposób uzasadniasz, że bez straty ogólności \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, bo przypuszczam że każdy poprawny dowód takiej redukcji jest trudniejszy niż samo zadanie.

Faktycznie, muszę od nowa to zrobić.
Odnośnie tej funkcji rosnącej to nie jest prawdą, ze ciągła i 1-1 musi być ściśle monotoniczna? (pomijając brak dowodu)

Jeżeli jest określona na odcinku, to prawda

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\) jest określona na otwartym podzbiorze \(\displaystyle{ \RR}\), różnowartościowa i ciągła, ale nie jest ściśle monotoniczna.

Myślałem ciągle o przedziale, ale faktycznie ten fakt w tym przypadku jest bezużyteczny. Ale nadal nie wiem jak się obejść bez wiedzy czy funkcja jest rosnąca czy malejąca. Skąd mam wiedzieć czy wybierając jakiś \(\displaystyle{ y \in f(A)}\) nie wybiorę jakiegoś maksimum co nie będzie miało żadnej kuli...

Znasz własnośc Darboux?

Dodano po 25 sekundach:
Co to znaczy "nie będzie miało żadnej kuli?

Wystarczy Ci wiedza, że \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle monotoniczna na każdym przedziale \(\displaystyle{ I \subseteq A}\).

Weź dowolny punkt \(\displaystyle{ y \in f(A)}\) i niech \(\displaystyle{ y = f(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in A}\). Skoro \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, to istnieje przedział \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\), taki że \(\displaystyle{ [a, b] \subseteq A}\). Na tym przedziale funkcja jest monotoniczna, więc pozostaje Ci pokazanie, że \(\displaystyle{ (f(a), f(b))}\) lub \(\displaystyle{ (f(b), f(a))}\) jest przedziałem otwartym zawierającym \(\displaystyle{ y}\) i zawartym w \(\displaystyle{ f(A)}\).

Dziękuję Dasio razem z Darboux już dalej sobie poradziłem.

Co to znaczy "nie będzie miało żadnej kuli?

W definicji zbioru otwartego jest taka terminologia, może zbyt skrótowo zapisałem moja myśl.

Spróbuję teraz 2 cześć dowodu z funkcja odwrotna zrobić od nowa razem z Waszymi wskazówkami.

Dodano po 59 minutach 33 sekundach:
Dow. \(\displaystyle{ y \in f(A)}\), dow. ciąg \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y}\).
Rozumiem, ze chce pokazac, ze \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty }f^{-1}(y_n) = f^{-1}(y)}\), gdzie \(\displaystyle{ y = f(x)}\)
istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ c_n}\), ze \(\displaystyle{ y_n = f(c_n)}\), czyli
\(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\)

Jestem w takim momencie, ze przydałby mi sie taki fakt mówiący, ze jeśli funkcja jest 1-1 i jest ciągła to jeśli
ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\) to \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\).

Nie wiem czy ide w dobra strone i czy ten fakt jest wymagany.

Nie rozumiem tez do końca dlaczego mój ten pierwszy jest nie poprawny.

terefere123 pisze: 6 kwie 2020, o 20:33Mamy ciąg \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\), czyli mamy ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\).

terefere123 pisze: 6 kwie 2020, o 20:33Mamy ciąg \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\), czyli mamy ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\). Czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty }f^{-1}(f(c_n)) = \lim_{n \rightarrow \infty } c_n = x = f^{-1}(f(x))}\) Czyli funkcja odwrotna jest ciągła.

Dlatego że dowód powinien być czytelnym rozumowaniem, które prowadzi od założeń do tezy. W tym wypadku założenie jest takie, że \(\displaystyle{ y_n}\) jest dowolnym ciągiem elementów \(\displaystyle{ f(A)}\) zbieżnym do \(\displaystyle{ y \in f(A)}\), a tezą jest \(\displaystyle{ f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y)}\). Ty zaś piszesz o jakimś - nie wiadomo skąd wziętym - ciągu \(\displaystyle{ c_n}\), który - nie wiadomo dlaczego - jest zbieżny do \(\displaystyle{ x}\).

Natomiast dowód z Twojego ostatniego podejścia:

terefere123 pisze: 10 kwie 2020, o 13:48Dow. \(\displaystyle{ y \in f(A)}\), dow. ciąg \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y}\).
Rozumiem, ze chce pokazac, ze \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty }f^{-1}(y_n) = f^{-1}(y)}\), gdzie \(\displaystyle{ y = f(x)}\)

ma już prawidłową strukturę, poza tym że zapomniałeś dopisać \(\displaystyle{ y_n \in f(A)}\).

terefere123 pisze: 10 kwie 2020, o 13:48Jestem w takim momencie, ze przydałby mi sie taki fakt mówiący, ze jeśli funkcja jest 1-1 i jest ciągła to jeśli
ciąg \(\displaystyle{ f(c_n) \rightarrow f(x)}\) to \(\displaystyle{ c_n \rightarrow x}\).

To nie jest prawda bez założenia otwartości dziedziny - kontrprzykładem jest funkcja

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x & \text{dla } x \in (0, 1] \\ x-1 & \text{dla } x \in (2, 3) \end{cases}}\)

dla której ciąg \(\displaystyle{ c_n = 2+\frac{1}{n}}\) i liczba \(\displaystyle{ x = 2}\) spełniają założenie, ale nie tezę.

Zamiast tego sugeruję zacząć tak jak przedtem: ustalić otoczenie iksa \(\displaystyle{ (a, b)}\) takie że \(\displaystyle{ [a, b] \subseteq A}\), i zauważyć że \(\displaystyle{ (f(a), f(b)) \subseteq f(A)}\) jest otoczeniem igreka (przy założeniu bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ f}\) jest lokalnie rosnąca). Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją między tymi przedziałami, co powinno ułatwić Ci dalsze dowodzenie.

Niestety nie wiem jak wykorzystać, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Ale przypomniało mi się tw. o funkcji odwrotnej:
Jeśli \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \mathbb{R}}\) jest ciągła i 1-1 to f. odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}: f(A) \rightarrow A}\) jest ciągła.
Tylko nie wiem czy to nie jest jakaś inna wersja tego co ja mam udowodnić i użycie tego nie miałoby żadnego sensu...

terefere123 pisze: 13 kwie 2020, o 14:51Ale przypomniało mi się tw. o funkcji odwrotnej:
Jeśli \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \mathbb{R}}\) jest ciągła i 1-1 to f. odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}: f(A) \rightarrow A}\) jest ciągła.

Przecież już wcześniej chciałeś korzystać z tego stwierdzenia a ja podałem Ci kontrprzykład:

Dasio11 pisze: 10 kwie 2020, o 15:45\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x & \text{dla } x \in (0, 1] \\ x-1 & \text{dla } x \in (2, 3) \end{cases}}\)

Gdyby zaś dołożyć założenie o otwartości zbioru \(\displaystyle{ A}\), to wyszłoby kropka w kropkę twierdzenie, które masz udowodnić, więc jak sam zauważyłeś, korzystanie z niego byłoby kiepskim pomysłem.


Oznaczając \(\displaystyle{ x_n = f^{-1}(y_n), x = f^{-1}(y)}\), chcemy udowodnić że \(\displaystyle{ x_n \to x}\). Mamy \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\) i \(\displaystyle{ f : (a, b) \to \big( f(a), f(b) \big)}\) jest rosnącą bijekcją.

Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i niech będzie on tak mały, że \(\displaystyle{ (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subseteq (a, b)}\). Wtedy \(\displaystyle{ x - \varepsilon < x < x + \varepsilon}\), więc z monotoniczności \(\displaystyle{ f(x-\varepsilon) < y < f(x+\varepsilon)}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ \big( f(x-\varepsilon), f(x+\varepsilon) \big)}\) jest otwartym przedziałem zawierającym \(\displaystyle{ y}\), więc wpadają weń prawie wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ y_n}\). Zapisując to inaczej, dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ n}\) zachodzą nierówności

\(\displaystyle{ f(x-\varepsilon) < f(x_n) < f(x+\varepsilon).}\)

Korzystamy teraz z faktu, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją między podanymi przedziałami, by stwierdzić że prawie wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ x_n}\) muszą leżeć w przedziale \(\displaystyle{ (a, b)}\). A skoro tak, to z monotoniczności oraz z powyższych nierówności mamy

\(\displaystyle{ x - \varepsilon < x_n < x + \varepsilon}\)

dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\), co należało wykazać.