Matematyka.pl

witam, mam problem z przeprowadzeniem następującego dowodu:
Korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora udowodnić, że dla transformacji przesunięcia danej wzorem \(\displaystyle{ T\psi(x)=\psi(x+h)}\) jest spełniona równość \(\displaystyle{ T\psi(x)=(e)^{hD}\psi(x)}\).

Zacznij od rozpisania, czym jest \(\displaystyle{ e^{hD}}\), a później \(\displaystyle{ \left( e^{hD} \psi\right) (x)}\)

czyli mam rozwinąć \(\displaystyle{ e^{hd} }\) w szereg Taylora? bo nie za bardzo rozumiem

Jaka jest definicja \( e^{hD} \)?

Niestety w skrypcie dostaliśmy tylko te 2 równania. Podejrzewam że D to jest pochodna ale to niestety wszystko.

Trudno mi uwierzyć, że dostaliście takie zadanie, jeśli na wykładzie/w skrypcie nie podali Wam nawet definicji niezbędnych do jego odczytania (o rozwiązaniu nie wspominając).

Ale jeśli tak rzeczywiście było, to proszę: dla operatora \(\displaystyle{ T}\) jego eksponens definiuje się przez szereg Taylora, taki jak dla zwykłej funkcji \(\displaystyle{ e^x}\) w analizie:

\(\displaystyle{ e^T = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{n!}}\)

gdzie \(\displaystyle{ T^n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-krotne złożenie, czyli \(\displaystyle{ \underbrace{T \circ \ldots \circ T}_{n \text{ razy}}}\). Operator \(\displaystyle{ D}\) zaiste oznacza różniczkowanie.