Matematyka.pl

Z podanych wzorów rekurencyjnych mam dojść do wzoru jawnego.
1) \(\displaystyle{ a_{n} =a_{n-2} +2a_{n-1} , a_{0}=1, a_{1}=2 , a_{2}=5}\)
Wykorzystując funkcje tworzącą doszedłem do \(\displaystyle{ W(x)= \frac{1}{1- x^{2}-2x }}\) Obliczyłem pierwiastki równania \(\displaystyle{ x_{1} =1- \sqrt{2}, x_{2} =1+ \sqrt{2} }\). Mam więc \(\displaystyle{ \frac{1}{1- x^{2}-2x } = \frac{A}{x+1- \sqrt{2} } + \frac{B}{x+1+ \sqrt{2} }}\)
Aby móc skorzystać ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego mam \(\displaystyle{ \frac{1}{1- x^{2}-2x }= \frac{A'}{1-\left( 1+ \sqrt{2} \right) x}+ \frac{B'}{1-\left( 1- \sqrt{2} \right) x}}\)
Nie mam pojęcia co dalej.
PS. Czy pierwiastki mogę wyznaczyć za pomocą równania charakterystycznego a dalej liczyć jak tu?

zekori pisze: 4 kwie 2020, o 21:18 1) \(\displaystyle{ a_{n} =a_{n-2} +2a_{n-1} , a_{0}=1, a_{1}=2 , a_{2}=5}\)
Wykorzystując funkcje tworzącą doszedłem do \(\displaystyle{ W(x)= \frac{1}{1- x^{2}-2x }}\)

Pokaż, proszę, jak to wyznaczyłeś.

zekori pisze: 4 kwie 2020, o 21:18 1) \(\displaystyle{ a_{n} =a_{n-2} +2a_{n-1} , a_{0}=1, a_{1}=2 , a_{2}=5}\)

PS. Czy pierwiastki mogę wyznaczyć za pomocą równania charakterystycznego a dalej liczyć jak tu?

Jeśli liczysz z równania charakterystycznego, to nieznane współczynniki równania \(\displaystyle{ a_n=A( 1- \sqrt{2} )^n+B (1+ \sqrt{2} )^n}\) dostaniesz wstawiając warunki początkowe.

Wynik:
\(\displaystyle{ a_n= \frac{2- \sqrt{2} }{4} ( 1- \sqrt{2} )^n+\frac{2+ \sqrt{2} }{4} (1+ \sqrt{2} )^n}\)

Dobra, dzięki, policzyłem z równania charakterystycznego. Jednak teraz mam problem z zadaniem(również wyznaczenie wzoru jawnego)
\(\displaystyle{ a_{n}=1,08 a_{n-1}+100, a_{0}=0 }\)
\(\displaystyle{ H(x)= h_{0} x^{0} + \sum_{n=1 }^{ \infty}(1,08h_{n-1}+100)x^{n}=h_{0} x^{0} + \sum_{n=1 }^{ \infty}1,08h_{n-1}x ^{n-1}+ \sum_{n=1 }^{ \infty}100x ^{n} =1,08x \sum_{n=1 }^{ \infty}h _{n-1} x n^{-1} + \frac{100x}{1-x} }\)
\(\displaystyle{ H(x)=1,08x*H(x)+ \frac{100x}{1-x}}\) czyli \(\displaystyle{ H(x)= \frac{100x}{\left(1-1,08x \right)\left(1-x \right) } }\)
Po rozkładzie na czynniki proste wychodzi mi
\(\displaystyle{ \frac{100x}{\left(1-1,08x \right)\left(1-x \right)}=\frac{-48}{1-1,08x}+ \frac{48}{1-x}}\)
Problem w tym, że nie wychodzi całe 48, a w przybliżeniu. Jest na to jakiś inny sposób, czy tak ma być?

Wsk: Poszukaj takiego `c`, że ciąg `b_n=a_n-c` będzie geometryczny