Matematyka.pl

Witam,
pomoże ktoś zrozumieć na przykładzie? Zależy mi na "obrazowym" pokazaniu

Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) mieszkają w sąsiednim województwie. Podaj i opisz wszystkie relacje dotyczące tego przykładu. Które relacje zachodzą?

Chodzi mi o pomoc w zrozumieniu tego; opis ma wyglądać tak:
SYMETRYCZNA: skoro \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), to \(\displaystyle{ p_2}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc zachodzi relacja symetrii

Z góry bardzo dziękuję za pomoc!

To może najpierw napisz o jaką relację chodzi i na jakim zbiorze jest ona określona. Używasz tutaj słowa "relacja" w znaczeniu "zależność, związek", a w matematyce relacja to coś innego. Symetria jest własnością relacji, a nie własnością pary elementów.


Tak sformułowane zadania ma w ogóle mało sensu: moim sąsiadem jest kolega z bloku a nie znajomy z sąsiedniego województwa, a "relacji" może być mnóstwo: `p_1` ma dłuższy nos, `p_2` ma lepszą brykę ...

Mr Joker pisze: ↑1 kwie 2020, o 22:25Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) mieszkają w sąsiednim województwie. Podaj i opisz wszystkie relacje dotyczące tego przykładu. Które relacje zachodzą?

Polecenie jest mocno nieprecyzyjne. Po pierwsze, nie jest określone, na jakim zbiorze określona jest ta relacja. Po drugie, pytanie "Które relacje zachodzą?" jest bez sensu. Skąd masz ten przykład?

Rozumiem, że chcesz rozważać relację \(\displaystyle{ R}\), określoną np. na zbiorze mieszkańców Polski, zadaną warunkiem

\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x\mbox{ i }y\mbox{ mieszkają w sąsiadujących województwach}}\)

i interesuje Cię, jakie własności ma taka relacja. Czy tak?

Mr Joker pisze: ↑1 kwie 2020, o 22:25Chodzi mi o pomoc w zrozumieniu tego; opis ma wyglądać tak:
SYMETRYCZNA: skoro \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), to \(\displaystyle{ p_2}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc zachodzi relacja symetrii

Oj, nie tak.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑1 kwie 2020, o 22:34

Mr Joker pisze: ↑1 kwie 2020, o 22:25Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) mieszkają w sąsiednim województwie. Podaj i opisz wszystkie relacje dotyczące tego przykładu. Które relacje zachodzą?

Polecenie jest mocno nieprecyzyjne. Po pierwsze, nie jest określone, na jakim zbiorze określona jest ta relacja. Po drugie, pytanie "Które relacje zachodzą?" jest bez sensu. Skąd masz ten przykład?

Rozumiem, że chcesz rozważać relację \(\displaystyle{ R}\), określoną np. na zbiorze mieszkańców Polski, zadaną warunkiem

\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x\mbox{ i }y\mbox{ mieszkają w sąsiadujących województwach}}\)

i interesuje Cię, jakie własności ma taka relacja. Czy tak?

Mr Joker pisze: ↑1 kwie 2020, o 22:25Chodzi mi o pomoc w zrozumieniu tego; opis ma wyglądać tak:
SYMETRYCZNA: skoro \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), to \(\displaystyle{ p_2}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc zachodzi relacja symetrii

Oj, nie tak.

JK

Dokładnie o taka relację mi chodzi

W takim razie relacja jest symetryczna, bo dla dowolnych dwóch osób \(\displaystyle{ x,y}\) mieszkających na terenie Polski, jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mieszkają w sąsiadujących województwach, to \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ x}\) mieszkają w sąsiadujących województwach.

Możesz zastanowić się, dlaczego ta relacja jest przeciwzwrotna, nie jest przechodnia i nie jest spójna. To, że nie jest w żaden sposób antysymetryczna i nie jest zwrotna wynika wtedy z ogólnej teorii, choć można to także pokazać bezpośrednio.

Oczywiście argument będzie wyglądał trochę inaczej, gdy zaczniemy formalizować, co to znaczy, że "\(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mieszkają w sąsiadujących województwach". Na razie opieramy się na intuicyjnej interpretacji pojęcia "sąsiadujące województwa".

JK

Przechodnia
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\). To, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), nie oznacza, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc nie jest przechodnia

Dobrze myślę? A co w przypadku antysymetrii?

Mr Joker pisze: ↑2 kwie 2020, o 15:51 Przechodnia
Załóżmy, że p3 jest sąsiadem p2. To, że p3 jest sąsiadem p2, nie oznacza, że p3 jest sąsiadem p1, więc nie jest przechodnia

Za mało założeń zrobiłeś. Trzeba jeszcze założyć, że ustalamy takie \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\) bez tego założenia nie odniósł byś się do definicji.

Janusz Tracz pisze: ↑2 kwie 2020, o 16:12

Mr Joker pisze: ↑2 kwie 2020, o 15:51 Przechodnia
Załóżmy, że p3 jest sąsiadem p2. To, że p3 jest sąsiadem p2, nie oznacza, że p3 jest sąsiadem p1, więc nie jest przechodnia

Za mało założeń zrobiłeś. Trzeba jeszcze założyć, że ustalamy takie \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ p_1}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\) bez tego założenia nie odniósł byś się do definicji.

A czym ma być to `p`?

Mieszkańcem Polski, to był nieindeksowany skrót odnoszący się jakiegoś \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\).

Mr Joker pisze: ↑2 kwie 2020, o 15:51 Przechodnia
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\). To, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_2}\), nie oznacza, że \(\displaystyle{ p_3}\) jest sąsiadem \(\displaystyle{ p_1}\), więc nie jest przechodnia

To jest słuszna intuicja, ale nie uzasadnienie.

Janusz Tracz pisze: ↑2 kwie 2020, o 16:31

wytłumaczenie przechodniości:    

Ustalamy takich mieszkańców Polski \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\), że \(\displaystyle{ p_1Rp_2}\) i \(\displaystyle{ p_2Rp_3}\) i zauważamy, że niekoniecznie \(\displaystyle{ p_1Rp_3}\)

No to też nie jest uzasadnienie.

Uzasadnienie polega na wskazaniu konkretnych mieszkańców Polski, którzy świadczą o braku przechodniości. Przy czym ja uznałbym za konkretny taki kontrprzykład:

\(\displaystyle{ p_1}\) - mieszkaniec Wrocławia
\(\displaystyle{ p_2}\) - mieszkaniec Opola
\(\displaystyle{ p_3}\) - mieszkaniec Katowic

JK

A co w przypadku antysymetrii?

Jak definiujesz antysymetrię?

JK

Janusz Tracz pisze: ↑2 kwie 2020, o 16:31 Mieszkańcem Polski, to był nieindeksowany skrót odnoszący się jakiegoś \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\).

wytłumaczenie przechodniości:    

Ustalamy takich mieszkańców Polski \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\), że \(\displaystyle{ p_1Rp_2}\) i \(\displaystyle{ p_2Rp_3}\) i zauważamy, że niekoniecznie \(\displaystyle{ p_1Rp_3}\)

Twoje uzasadnienie byłoby wadliwe, gdyby Polska składała się z dwóch lub trzech ułożonych w "serek" województw

Jan Kraszewski pisze: ↑2 kwie 2020, o 18:00

Janusz Tracz pisze: ↑2 kwie 2020, o 16:31

wytłumaczenie przechodniości:    

Ustalamy takich mieszkańców Polski \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\), że \(\displaystyle{ p_1Rp_2}\) i \(\displaystyle{ p_2Rp_3}\) i zauważamy, że niekoniecznie \(\displaystyle{ p_1Rp_3}\)

No to też nie jest uzasadnienie.

Słowa ustalamy takich są tu bez sensu. Znacznie bardziej pasuje wskazujemy takich \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3}\), że... Dziękuję za tą uwagę.

a4karo pisze:Twoje uzasadnienie byłoby wadliwe, gdyby Polska składała się z dwóch lub trzech ułożonych w "serek" województw

Ja patrzyłem na mapę polski jak na graf planarny gdzie każde województwo to wierzchołek takiego grafu. Wtedy nie ma możliwości, że jakiś mieszkaniec mieszka jednocześnie w dwóch województwach.

EDIT: literówka, dziękuję JK.

Jan Kraszewski pisze: ↑2 kwie 2020, o 18:48 Jak definiujesz antysymetrię?

JK

właśnie dobre pytanie, pytam właśnie dlatego, by obrazowo to zrozumieć