Uzasadnij metodami kombinatorycznymi

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Uzasadnij metodami kombinatorycznymi

Post autor: Calasilyar » 14 paź 2007, o 12:23

Uzasadnij tożsamość metodami kombinatorycznymi:
\(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose k+1} = {n+1 \choose k+1}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

Uzasadnij metodami kombinatorycznymi

Post autor: jarekp » 14 paź 2007, o 13:11

masz n+1 osób: n chińczyków i eskimosa:)

na ile sposobów możesz wybrać spośród nich k+1 osobową grupę?
na \(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1}}\) sposobów.

Policzmy to teraz inaczej:
mamy \(\displaystyle{ {n\choose k+1}}\) grup składających się z samych chińczyków i \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) grup składających się z eskimosa i k chińczyków.

więc \(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose k+1} = {n+1 \choose k+1}}\)



Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Uzasadnij metodami kombinatorycznymi

Post autor: Calasilyar » 14 paź 2007, o 13:21

jarekp pisze:Policzmy to teraz inaczej:
Mógłbyś to rozpisać bardziej elementarnie?

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

Uzasadnij metodami kombinatorycznymi

Post autor: jarekp » 14 paź 2007, o 13:40

liczymy wybór k+1 grup na dwa sposoby:
pierwszy sposób to oczywiście \(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1}}\)

teraz drugi sposób:
wybrane grupy możemy podzielić na dwa przypadki:
1.w grupie znajduje się eskimos i k chińczyków- tych grup jest \(\displaystyle{ {n\choose k}}\)
2.grupa składa się z samych chińczyków- takich grup jest \(\displaystyle{ {n\choose k+1}}\)

ponieważ wynik nie zależy od sposobu liczenia to \(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose k+1} = {n+1 \choose k+1}}\)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Uzasadnij metodami kombinatorycznymi

Post autor: Calasilyar » 14 paź 2007, o 13:44

Już rozumiem, dzięki za pomoc

ODPOWIEDZ