Matematyka.pl

Witam mam zadanie, w którym muszę skorzystać z twierdzenia Parsevala.
Widmo danego sygnału wyszło mi w postaci \(\displaystyle{ x( \omega) =A \cdot T \cdot Sa \frac{\omega \cdot T}{4} }\).
Mam też podpowiedź, że w tym zadaniu należy skorzystać z specjalnej funkcji si(x) - sinus całkowy.
Najpierw muszę obliczyć \(\displaystyle{ x(\omega) ^{2} }\) i nie mam pojęcia jak to się odnosi do sinusa całkowego. Czy ktoś mógłby mnie jakoś bardziej nakierować.

Korzystamy ze wzoru Parsevala na energię całkowitą sygnału

\(\displaystyle{ E = \int_{-\infty}^{\infty} [f(t)]^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(j\omega)|^2 d\omega.}\)



Przechodzimy na \(\displaystyle{ x(j\omega) }\)

Obliczamy \(\displaystyle{ |x(j\omega)|^2 = x(j\omega)\cdot x^{*}(j\omega) }\)

Korzystamy z definicji \(\displaystyle{ sinc }\)

\(\displaystyle{ sinc (T) = \begin{cases} \frac{\sin (T)}{T} \ \ \mbox{gdy} \ \ T \neq 0\\ 1 \ \ \mbox {gdy} \ \ T = 0. \end{cases} }\)

Czy znak * przy \(\displaystyle{ x(\omega)}\) oznacza splot?

Sprzężenie.

Jeszcze mam jedno pytanie zakładając, że mam obliczone |x\(\displaystyle{ (\omega)|^{2}}\) to w jaki sposób mam wykorzystać ten wynik i definicje sinc. W miejsce T mam podstawić j\(\displaystyle{ \omega}\)?

Jaki miał Pan początkowy sygnał \(\displaystyle{ f(t) }\) przed transformacją Fouriera?

Sygnał to impuls prostokątny w przedziale\(\displaystyle{ \frac{-\pi}{4} do \frac{\pi}{4} }\) osiągający amplitude A

Proszę jeszcze raz poprawnie dokonać transformacji Fouriera?

Mógłby Pan zobaczyć czy tym razem dokonałem poprawnie transformacji Fouriera

Wzór ogólny sygnału prostokątnego

\(\displaystyle{ f(t) = \begin{cases} A \ \ \mbox{gdy} \ \ |t| \leq T \\ 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ |t|> T \end{cases} }\)

Z definicji przekształcenia Fouriera

\(\displaystyle{ F(j\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{-j\omega t}dt }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = \int_{-T}^{T}Ae^{-j\omega t} dt = \begin{cases} \left[ -\frac{A}{j\omega} e^{-j\omega t} \right]_{-T}^{T}, \ \ \omega\neq 0 \\ 2A ,\ \ \omega = 0 \end{cases} = \frac{2A}{\omega} \sin(\omega t) = 2AT sinc(\omega T) }\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4} }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = F(j\omega) = A \cdot \frac{\pi}{2} sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) }\)

\(\displaystyle{ |F(j\omega)| = A \cdot \frac{\pi}{2} \left| sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)

\(\displaystyle{ |F(j\omega)|^2 = A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)

Z twierdzenia Parservala

\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2\pi}\cdot A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega = \frac{1}{8}\pi\cdot A^2 \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega =\frac{1}{8}\pi A^{2} Sinc^{2}\left( \frac{\pi}{4}\omega \right). }\)

Dziękuje Panu bardzo za pomoc

Dodano po 2 godzinach 27 minutach 40 sekundach:

janusz47 pisze: ↑1 kwie 2020, o 16:11 Wzór ogólny sygnału prostokątnego

\(\displaystyle{ f(t) = \begin{cases} A \ \ \mbox{gdy} \ \ |t| \leq T \\ 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ |t|> T \end{cases} }\)

Z definicji przekształcenia Fouriera

\(\displaystyle{ F(j\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{-j\omega t}dt }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = \int_{-T}^{T}Ae^{-j\omega t} dt = \begin{cases} \left[ -\frac{A}{j\omega} e^{-j\omega t} \right]_{-T}^{T}, \ \ \omega\neq 0 \\ 2A ,\ \ \omega = 0 \end{cases} = \frac{2A}{\omega} \sin(\omega t) = 2AT sinc(\omega T) }\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4} }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{F} [f(t)] = F(j\omega) = A \cdot \frac{\pi}{2} sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) }\)

\(\displaystyle{ |F(j\omega)| = A \cdot \frac{\pi}{2} \left| sinc \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)

\(\displaystyle{ |F(j\omega)|^2 = A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right| }\)

Z twierdzenia Parservala

\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2\pi}\cdot A^2 \cdot \frac{\pi^2 }{4} \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega = \frac{1}{8}\pi\cdot A^2 \int_{0}^{\infty} \left| sinc^{2} \left (\omega \frac{\pi}{4} \right) \right|d \omega =\frac{1}{8}\pi A^{2} Sinc^{2}\left( \frac{\pi}{4}\omega \right). }\)

A mógłbym zapytać jak zmieniają się granice całkowania w twierdzeniu parsevala ( czemu jest od zera do nieskończoności?)

Nie śledzę tego wątku, bo to nie moja bajka. Ale lisek główny w tytule wygląda przeuroczo

Granice w twierdzeniu Parservala zmieniają się od \(\displaystyle{ -\infty }\) do [/latex] \infty. [/latex]

Zakres częstotliwości \(\displaystyle{ \omega }\) dla listka głównego

\(\displaystyle{ \omega \in \left [ -\frac{2\pi}{T}, \frac{2\pi}{T} \right ]. }\)

Proszę podstawić \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4}. }\)

janusz47 pisze: ↑1 kwie 2020, o 23:03 Granice w twierdzeniu Parservala zmieniają się od \(\displaystyle{ -\infty }\) do [/latex] \infty. [/latex]

Zakres częstotliwości \(\displaystyle{ \omega }\) dla listka głównego

\(\displaystyle{ \omega \in \left [ -\frac{2\pi}{T}, \frac{2\pi}{T} \right ]. }\)

Proszę podstawić \(\displaystyle{ T = \frac{\pi}{4}. }\)

Przepraszam pomyliłem się i granice tego sygnału wynoszą od \(\displaystyle{ -\frac {T}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{T}{4} }\), a nie jak błędnie napisałem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }\). Wtedy podstawiając granice całkowania w tw. Parsevala wychodzą mi \(\displaystyle{ \frac{8\pi}{T} }\), a powinieniem chyba całkować w przedziale od \(\displaystyle{ -\frac {T}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{T}{4} }\)

To zmienia postać, rzeczy. I wtedy całkujemy w przedziale \(\displaystyle{ \left [-\frac{1}{4}T, \ \ \frac{1}{4}T\right] }\)