Własności liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
fennec153
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 31 mar 2020, o 20:58
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Własności liczb zespolonych

Post autor: fennec153 » 31 mar 2020, o 21:03

Rozwiąż nierówność w dziedzinie zespolonej wykorzystując wzór de Moivre’a:
\(\displaystyle{ Re(z^3) < 0}\)

Ogarnia ktoś jak to zrobić ? Z góry dziękuję za odpowiedź :|
Ostatnio zmieniony 31 mar 2020, o 21:08 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a, zapoznaj się z instrukcją https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 .
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Własności liczb zespolonych

Post autor: janusz47 » 31 mar 2020, o 22:36

1.
Przedstawiamy liczbę \(\displaystyle{ z }\) w postaci trygonometrycznej.

2.
Podnosimy do trzeciej potęgi, stosując wzór de Moivre' a.

3.
Wyodrębniamy część rzeczywistą liczby z podpunktu 2.

4.
Rozwiązujemy nierówność trygonometryczną.

Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Własności liczb zespolonych

Post autor: Bozydar12 » 2 kwie 2020, o 22:33

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\).
"\(\displaystyle{ z}\)" w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ z=|z|\left( \cos \frac{x}{|z|}+i\sin \frac{y}{|z|}\right) }\)
Ze wzoru Moivre'a: \(\displaystyle{ z^3=|z| ^{3}\left( \cos \frac{3x}{|z|}+i\sin \frac{3y}{|z|}\right) }\)
\(\displaystyle{ \Re(z ^{3}) = |z|^3\cos \left( \frac{3x}{|z|}\right) }\)
Należy rozwiązać: \(\displaystyle{ |z|^3\cos\left( \frac{3x}{|z|}\right) <0}\), gdzie \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } > 0}\). Mając daną liczbę, wyjdzie ci proste równanie trygonometryczne, w ogólności:
\(\displaystyle{ |z|^3\cos\left( \frac{3x}{|z|}\right)<0 \Leftrightarrow x \in \left( \frac{ \pi }{ \frac{1}{|z|} \cdot 6}+ \frac{4 \pi n }{6\cdot \frac{1}{|z|} }, \frac{3 \pi }{6\cdot \frac{1}{|z|} } + \frac{4 \pi n}{6\cdot \frac{1}{|z|} }\right)}\), dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,3,..}\)
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2020, o 23:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Własności liczb zespolonych

Post autor: janusz47 » 2 kwie 2020, o 23:24

Nie bardzo rozumiem postaci tego rozwiązania, ze względu na zawartym w nim \(\displaystyle{ |z|. }\)

Jaka jest postać części rzeczywistej liczby \(\displaystyle{ z^3 }\) w postaci trygonometrycznej (po zastosowaniu wzoru de'Moivre'a)?

Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Własności liczb zespolonych

Post autor: Bozydar12 » 2 kwie 2020, o 23:46

Bozydar12 pisze:
2 kwie 2020, o 22:33

\(\displaystyle{ \Re(z ^{3}) = |z|^3\cos \left( \frac{3x}{|z|}\right) }\)
Ale możliwe, że sam rowniez się pogubiłem, bo treść zadania jest nie do końca jasna.
Ostatnio zmieniony 3 kwie 2020, o 00:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7659
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3019 razy

Re: Własności liczb zespolonych

Post autor: kerajs » 3 kwie 2020, o 05:26

Zadanie jest jednoznacznie sformułowane. A dziwne rozwiązanie jest konsekwencją dziwnego początku:
Bozydar12 pisze:
2 kwie 2020, o 22:33
Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\).
"\(\displaystyle{ z}\)" w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ z=|z|\left( \cos \frac{x}{|z|}+i\sin \frac{y}{|z|}\right) }\)
Tu błędnie przyjąłeś, iż: \(\displaystyle{ \alpha =\frac{x}{|z|}= \frac{y}{|z|}}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18302
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Własności liczb zespolonych

Post autor: a4karo » 3 kwie 2020, o 16:15

Fakt 1: jeżeli \(\displaystyle{ Arg(z^3)=\alpha}\) to na mocy wzoru de Moivre'a \(\displaystyle{ Arg(z)\in \left\{\frac{\alpha}{3}, \frac{\alpha+2\pi}{3}, \frac{\alpha+4\pi}{3}\right\}}\)
Fakt 2: \(\displaystyle{ \Re(z^3)<0 \Leftrightarrow ???<Arg(z^3)<???}\)

To wystarcza do rozwiązania zadania.

ODPOWIEDZ