Matematyka.pl

Cześć
Mam takie pytanie odnośnie zadania5. z 2. etapu tegorocznego OMa.
Treść znajduje się tutaj:

I brzmi:
Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p > 2}\). Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ p + 1}\) liczb całkowitych. Wykazać, że istnieją parami różne liczby \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, . . . , a _{p-1}}\), należące do zbioru \(\displaystyle{ S}\), dla których liczba
\(\displaystyle{ a_{1} + 2 \cdot a2 + 3 \cdot a_{3} + . . . + (p − 1) \cdot a_{p−1} }\)
jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).

Moje pytanie odnośnie tego zadania brzmi:
Czy ono na pewno jest poprawnie sformułowane? Bo przecież (według mnie przynajmniej, więc mogę się mylić) elementy zbioru \(\displaystyle{ S}\) nie muszą być wszystkie parami różne. W szczególnym przypadku nawet nie można wybrać więc \(\displaystyle{ p-1}\) parami różnych liczb, a co dopiero spełniających jeszcze do tego jakiś warunek. Dla przykładu liczba \(\displaystyle{ p=3}\) i zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2\}}\) nie spełnia warunków zadania.

Z góry dzięki za odpowiedzi.

`\{1,1,1,2\}=\{1,2\}`, więc ten zbiór nie ma czterech elementów

timoteo2137 pisze: 28 mar 2020, o 20:42Bo przecież (według mnie przynajmniej, więc mogę się mylić) elementy zbioru S nie muszą być wszystkie parami różne.

No to mylisz się. Elementy zbioru z samej natury pojęcia zbioru są różne.

timoteo2137 pisze: 28 mar 2020, o 20:42Dla przykładu liczba \(\displaystyle{ p=3}\) i zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2\}}\) nie spełnia warunków zadania.

Nie wiem, czy jesteś świadom, że \(\displaystyle{ \{1,1,1,2\}=\{1,2\}.}\)

JK

Dodano po 1 minucie 16 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: 28 mar 2020, o 20:49 Elementy zbioru z samej natury pojęcia zbioru są różne.

A dlaczego z samej natury pojęcia są różne? Przecież pojęcie zbioru jest aksjomatem i się go nie definiuje.

Pojęcie zbioru nie jest aksjomatem, bo aksjomaty to nie pojęcia.

Cantor definiując pojęcie zbioru (która to definicja leży u podstaw Naiwnej Teorii Mnogości) określił, że jest to kolekcja dobrze zdefiniowanych, rozróżnialnych obiektów. Jeżeli chcesz bardziej formalnie (bo przy bardziej formalnym podejściu zbiór istotnie jest pojęciem pierwotnym), to załatwia to Zasada Ekstensjonalności.

JK

timoteo2137 pisze: 28 mar 2020, o 20:42Dla przykładu liczba \(\displaystyle{ p=3}\) i zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2\}}\) nie spełnia warunków zadania.

Zbiór ten spełnia warunki zadania, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a_1 = 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_2 = 1}\).

Dodano po 3 minutach 23 sekundach:
Oczywiście rozumiem, że zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2 \}}\) oznacza zbiór \(\displaystyle{ S}\) zawierający trzy liczby dające resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) oraz jedną taką, która daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) (na przykład zbiór \(\displaystyle{ \{ 1,4,7,2 \} }\)).

niunix98 pisze: 14 kwie 2020, o 15:35Zbiór ten spełnia warunki zadania, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a_1 = 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_2 = 1}\).

A czytałeś uważnie treść zadania?

timoteo2137 pisze: 28 mar 2020, o 20:42Wykazać, że istnieją parami różne liczby \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, . . . , a _{p-1}}\), należące do zbioru \(\displaystyle{ S}\),

niunix98 pisze: 14 kwie 2020, o 15:35Oczywiście rozumiem, że zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2 \}}\) oznacza zbiór \(\displaystyle{ S}\) zawierający trzy liczby dające resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) oraz jedną taką, która daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) (na przykład zbiór \(\displaystyle{ \{ 1,4,7,2 \} }\)).

Zbiór liczb to zbiór liczb. Jego elementami ma być \(\displaystyle{ p+1}\) różnych liczb całkowitych i nie możesz zastępować tych liczb ich resztami. Więc powyższe sformułowanie niestety nie ma sensu.

JK

Faktycznie. Po prostu myślałem, że gdzie indziej leży problem timotea.