Matematyka.pl

Poszukuję dowodu następującego faktu:

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją ciągłą na kuli \(\displaystyle{ B(x_0,R)\subset \mathbb{R}^n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{B(x_0,R)} f(x)\mbox{d}x=\int_{0}^R \left(\int_{\partial B(x_0,r)} f(x)\mbox{d}S(x)\right)\mbox{d}r}\).

Generalnie nie mam żadnego pomysłu też jak ten dowód przeprowadzić samemu. Za wszelką pomoc będę wdzięczny.

A jakiej używasz definicji całki po kuli i całki po sferze?

Być może to będzie pomocne szczególną uwagę zwróć na pierwszą odpowiedź i komentarz:

As you can see, nothing here uses the fact that we have a sphere. This argument is equally valid for any family of objects parametrised by a single parameter r

formalnie nie umiem tego udowodnić ale skojarzyło mi się to własnie z faktem, że \(\displaystyle{ \frac{ \dd V}{ \dd r} = S(r)}\) więc \(\displaystyle{ f(r) \dd V= f(r)S(r) \dd r}\).

PS to tylko taka luźna uwaga. Jak się nie przyda to trudno.

Patrz twierdzenie Coarea na przykład tutaj

Dasio11, całka po kuli to całka względem \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej miary Lebesgue'a, natomiast całkę po sferze rozumiemy jako całkę względem miary powierzchniowej.