Matematyka.pl

Wykaż że dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ n}\) jeśli \(\displaystyle{ d}\) jest taką liczbą całkowitą że \(\displaystyle{ d|(n+3) \wedge d|(n^2 + 5)}\) to \(\displaystyle{ d|14}\)

Udowodniłem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ d = NWD((n+3),(n^2+5))}\)
\(\displaystyle{ n^2+5 = (n-3)(n+3)+14}\)
\(\displaystyle{ NWD((n+3),(n^2+5)) = NWD((n+3),((n+3)(n-3)+14)) = NWD((n+3),14) = d}\)
Z czego chyba widać, że \(\displaystyle{ d|14}\)

Czy jest jakiś inny sposób udowodnienia tego? Podobno mam w jakiś magiczny sposób połączyć \(\displaystyle{ d|(n+3) \wedge d|(n^2 + 5)}\), próbowałem skorzystać z \(\displaystyle{ d|x \wedge d|y \Rightarrow d|(x-y)}\) ale jakoś mi to chyba zbyt wiele nie dało

min4max pisze: 27 mar 2020, o 12:33 próbowałem skorzystać z \(\displaystyle{ d|x \wedge d|y \Rightarrow d|(x-y)}\) ale jakoś mi to chyba zbyt wiele nie dało

Jeśli \(\displaystyle{ d| (n+3)}\) to też \(\displaystyle{ d| (n+3)(n-3)}\) z drugiej strony wiemy, że \(\displaystyle{ d|n^2+5}\) zatem \(\displaystyle{ d| \left( n^2+5 - (n+3)(n-3) \right) }\) czyli \(\displaystyle{ d| 14 }\) teza.

Albo w języku kongruencji \(\displaystyle{ n+3 \equiv 0\bmod d }\) oraz \(\displaystyle{ n^2+5 \equiv 0\bmod d }\) więc również:

\(\displaystyle{ n^2+5 -(n-3)(n+3) \equiv 0\bmod d }\)

\(\displaystyle{ 14 \equiv 0\bmod d }\)

zatem faktycznie \(\displaystyle{ d|14}\)

Dodano po 4 minutach 22 sekundach:
Natomiast jeśli chodzi o Twoje rozwiązanie to nie zakładałbym, że \(\displaystyle{ d=\NWD (n+3, n^2+5)}\) (a przynajmniej nie wiem skąd miałoby to wynikać).

Janusz Tracz pisze: 27 mar 2020, o 12:59

Dodano po 4 minutach 22 sekundach:
Natomiast jeśli chodzi o Twoje rozwiązanie to nie zakładałbym, że \(\displaystyle{ d=\NWD (n+3, n^2+5)}\) (a przynajmniej nie wiem skąd miałoby to wynikać).

Bo wystarczy pokazać twierdzenie w przypadku gdy `d=NWD(n+3,n^2+5)`