Trójkąty - 3 zadania

[Ades]

1. Oblicz długość tej wysokości trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 12cm i 9cm, która jest poprowadzona do przeciwprostokątnej.
2. W trójkącie równoramiennym rozwartokątnym o bokach długości 30cm, 30cm, 50cm poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta ostrego. Jaką długość ma ta wysokość
3. Z punktu P leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa długości wysokości tego trójkąta.

Za rozwiązania serdecznie dziękuję =)

[Marta01*]

Zadanie 1
Najpierw obliczasz długość przeciwprostokątnej.
9^2 + 12^2 = c^2
81+144= c^2
c= 15

Po czym wiemy, że:
Wysokość poprowadzona od kąta prostego ma długość ab/c
więc:
h=(12•9):15
h=7,2

[setch]

2.
h - wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta ostrego
d - wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego
P - pole
\(\displaystyle{ d^2+25^2=30^2\\
d=\sqrt{30^2-25^2}=\sqrt{275}=5\sqrt{11}\\
P=\frac{1}{2}d\cdot 50=125\sqrt{11}\\
P=\frac{1}{2}h\cdot 30\\
h=\frac{P}{15}=\frac{125\sqrt{11}}{15}}\)

[Marta01*]

Wiemy, że wysokość jest poprowadzona z kąta ostrego, a więc musi opadać na ramię 30 cm.
więc:
żeby obliczyć pole trójkąta( po to by potem z równanie obliczyć wysokość z kąta rozwartego) musimy się dowiedzieć ile cm ma wysokość opadająca na bok 50 cm.
więc dzielimy trójkąt na pół i obliczamy z tw.pitagorasa wysokość:
a^2•25^2=30^2
a^2= 30^2-25^2
a^2= 900-625
a=√275
a= 5√11
I teraz ammy wysokość więc policzymy pole:
P= 1/2a •h
P= 25•5√11
p=125√11
No i teraz możemy obliczyć WłAśCIWą wysokość
P=1/2a•h
Obliczamy wysokość, ale za a podstawiamy już ten bok, na który opada ta wysokość. czyli:
125√11=1/2•30 •h
(2p):a=h
h=(2•125√11):30
h=8 i 1/3 √11

[ariadna]

Marta01*, radzę zapoznać się jak najszybciej z:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951

[Justka]

Ad.3
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}aH}\) gdzie H to wysokośc trójkata równobocznego.
Trójkat ten składa sie z 3 mniejszych trójkątów o wysokościach równych \(\displaystyle{ h_1,h_2,h_3}\) (sa to te odcinki prostopadłe poprowadzone do boków) a wiec
\(\displaystyle{ P_1=\frac{1}{2}ah_1\\
P_2=\frac{1}{2}ah_2\\
P_3=\frac{1}{2}ah_3}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ P=P_1+P_2+P_3=\frac{1}{2}ah_1+\frac{1}{2}ah_2+\frac{1}{2}ah_3=\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)}\)
POrównując do pierszego wzoru na pole tójkata wychodzi że:
\(\displaystyle{ H=h_1+h_2+h_3}\).