Matematyka.pl

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) ciąg

\(\displaystyle{ 1, k^2-3k+1,\left( k^2-3k+1\right)^2,\cdots}\)

jest zbieżny?

Czy tutaj warunkiem będzie \(\displaystyle{ -1<|q|\leq 1}\)?

Ten szereg jest zbieżny gdy \(\displaystyle{ -1<k^2-3k+1<1}\)

41421356 pisze: 24 mar 2020, o 09:23 Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) ciąg
\(\displaystyle{ 1, k^2-3k+1,\left( k^2-3k+1\right)^2,\cdots}\)
jest zbieżny?

Widzimy, że jest to ciąg geometryczny \(\displaystyle{ \checkmark}\) więc liczymy jego \(\displaystyle{ q}\). Co sprowadza się na spojrzenie jaki jest drugi wyraz wszak pierwszym jest \(\displaystyle{ 1}\) więc \(\displaystyle{ q=k^2-3k+1}\). Aby ciąg był zbieżny musi spełniać pewien warunek

Czy tutaj warunkiem będzie \(\displaystyle{ -1<|q|\leq 1}\)?

Nie taki. Nierówność \(\displaystyle{ -1<|q|}\) nic nie wnosi a \(\displaystyle{ |q|\leq 1}\) jest za gruba. Ciąg geometryczny jest zbieżny gdy \(\displaystyle{ |q|<1}\) czyli gdy \(\displaystyle{ |k^2-3k+1|<1}\) czyli gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} -1<k^2-3k+1\\ k^2-3k+1<1\end{cases} }\)

rozwiązujesz dwie nierówności kwadratowe bierzesz część wspólną rozwiązań i koniec.

Może najpierw zacznę od małego sprostowania. Chodziło mi oczywiście o warunek \(\displaystyle{ -1<q\leq1}\). Ponadto ja tutaj nigdzie nie mówię o szeregu, czyli ciągu sum, tylko o ciągu geometrycznym po prostu. Czy ten ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ -1<q\leq 1}\)?

41421356 pisze: 24 mar 2020, o 10:39 Czy ten ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ -1<q\leq 1}\)?

Oczywiście, że nie będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ q=1}\) bo suma nieskończenie wielu jedynek jest rozbieżna. Ja ogólnie celowo użyłem słowa szereg bo gdy mówimy o skończonym ciągu geometrycznym to nie ma mowy o żadnej zbieżności.

41421356 pisze: 24 mar 2020, o 10:39 Ponadto ja tutaj nigdzie nie mówię o szeregu, czyli ciągu sum, tylko o ciągu geometrycznym po prostu. Czy ten ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ -1<q\leq 1}\)?

Tak, ciąg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ q=1}\) bo wtedy będzie to ciąg jedynek. Myślałem, że chciałeś liczyć sumę szeregu na początku.

Dodano po 33 sekundach:
kmarciniak1 ale mówimy o ciągu

Janusz Tracz pisze: 24 mar 2020, o 10:44
Dodano po 33 sekundach:
kmarciniak1 ale mówimy o ciągu

A no właśnie teraz się skapnąłem. Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie

Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie

Co był niejednoznaczne w pierwszym poście? Autor spytał o ciąg. Ja zadziałałem jak automat i ubzdurałem sobie szereg. Samo pytanie jednak wydaje mi się od samego początku jednoznaczne.

Myślę, że jeśli zamiast tych przecinków w zadaniu byłyby plusy, to mówimy jasno o szeregu. W moim zadaniu były przecinki, czyli po prostu zostały wypisane początkowe wyrazy ciągu.

Janusz Tracz pisze: 24 mar 2020, o 10:53

Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie

Co był niejednoznaczne w pierwszym poście? Autor spytał o ciąg. Ja zadziałałem jak automat i ubzdurałem sobie szereg. Samo pytanie jednak wydaje mi się od samego początku jednoznaczne.

Szczerze mówiąc mógłbym kontynuować tę bezsensowną wymianę zdań ale chyba nie ma sensu. Dla mnie było niejednoznacznie i tyle.

kmarciniak1 pisze: 24 mar 2020, o 13:11Dla mnie było niejednoznacznie i tyle.

Dobrze że przeformułowałeś swoją tezę tak by było widać, gdzie leży problem, bo teza oryginalna:

kmarciniak1 pisze: 24 mar 2020, o 10:49Aczkolwiek autor wątku w pierwszym poście sformułował to niejednoznacznie

- nie miała zbyt wiele wspólnego z rzeczywistością.