Matematyka.pl

Witam. Mam do zbadania zbieżności następujących, czterech szeregów:

1) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } [\ln (2 + \frac{1}{n} )] ^{n+2} }\)

2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n} \arctan ( \frac{1}{ \sqrt{n} + 1} )}\)

3) \(\displaystyle{ \sum_{n=4}^{ \infty } \frac{\log (n + 1)}{n - 3} }\)

4) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\cos ( \sqrt{n} )}{n ^{2} + 3} }\)

Szeregi 2-4 zbadałem i znajdują się one poniżej, więc prosiłbym o sprawdzenie jak ktoś znajdzie chwilkę. Nie mam natomiast pomysłu jak się zabrać za szereg 1.

[ciach]

Pierwszy szereg nie spełnia nawet warunku koniecznego zbieżności, wyrazy szeregu nie dążą do zera. Na pewno dobrze to przepisałeś?

Dodano po 4 minutach 31 sekundach:
A nie, sorry, spełnia, mój błąd.
Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) mamy
\(\displaystyle{ 0<\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)<\ln \left(\frac{5}{2}\right)}\)
i co za tym idzie
\(\displaystyle{ 0<\left(\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)^{n+2}<\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
a szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
to zbieżny szereg geometryczny, wszak \(\displaystyle{ 0=\ln 1<\ln\left(\frac{5}{2}\right)<\ln e=1}\). Zatem na mocy kryterium porównawczego…

Premislav pisze: 21 mar 2020, o 16:34Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) mamy
\(\displaystyle{ 0<\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)<\ln \left(\frac{5}{2}\right)}\)
i co za tym idzie
\(\displaystyle{ 0<\left(\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)^{n+2}<\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
a szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
to zbieżny szereg geometryczny, wszak \(\displaystyle{ 0=\ln 1<\ln\left(\frac{5}{2}\right)<\ln e=1}\). Zatem na mocy kryterium porównawczego…

Słowem: kryterium Cauchy'ego.