Najmocniejszy test dla rozkładu wykładniczego
: 19 mar 2020, o 17:52
Mam 20 liczb wylosowanych z rozkładem wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) i dwie hipotezy do porównania: \(\displaystyle{ H_0: \lambda = \lambda_0, H_1: \lambda = \lambda_1 }\). Poziom istotności \(\displaystyle{ \alpha }\). Jak przetestować zasadność hipotezy zerowej?
Chciałem skorzystać z lematu Neymanna-Pearsona i liczę funkcję \(\displaystyle{ \Lambda}\):
\(\displaystyle{
L(x_1, \dots, x_n, \lambda) = \Pi^n_{i=1} \lambda\exp(-\lambda x_i) \\
\Lambda(x_1, \dots, x_n, \lambda_0, \lambda_1) = \frac{L(x_1, \dots, x_n, \lambda_1)}{L(x_1, \dots, x_n, \lambda_0)} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^n\exp((\lambda_0-\lambda_1)n\bar{x})}\)
I teraz nie do końca wiem, co miałbym zrobić. Jeśli do \(\displaystyle{ \Lambda}\) wstawię wartości parametrów (funkcja zależy wtedy tylko od próby \(\displaystyle{ X_i}\)) to czy wystarczy oszacować zbiór krytyczny zależności od \(\displaystyle{ \Lambda(x_1,\dots,x_n)}\)? Chciałbym zrobić coś w stylu: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\lambda_a \leq \Lambda(x_1,\dots,x_n) \leq \lambda_b) = 1-\alpha }\) (jak znaleźć \(\displaystyle{ \lambda_a, \lambda_b}\)?) i sprawdzić, czy to zachodzi dla średniej z moich liczb.
Chciałem skorzystać z lematu Neymanna-Pearsona i liczę funkcję \(\displaystyle{ \Lambda}\):
\(\displaystyle{
L(x_1, \dots, x_n, \lambda) = \Pi^n_{i=1} \lambda\exp(-\lambda x_i) \\
\Lambda(x_1, \dots, x_n, \lambda_0, \lambda_1) = \frac{L(x_1, \dots, x_n, \lambda_1)}{L(x_1, \dots, x_n, \lambda_0)} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^n\exp((\lambda_0-\lambda_1)n\bar{x})}\)
I teraz nie do końca wiem, co miałbym zrobić. Jeśli do \(\displaystyle{ \Lambda}\) wstawię wartości parametrów (funkcja zależy wtedy tylko od próby \(\displaystyle{ X_i}\)) to czy wystarczy oszacować zbiór krytyczny zależności od \(\displaystyle{ \Lambda(x_1,\dots,x_n)}\)? Chciałbym zrobić coś w stylu: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\lambda_a \leq \Lambda(x_1,\dots,x_n) \leq \lambda_b) = 1-\alpha }\) (jak znaleźć \(\displaystyle{ \lambda_a, \lambda_b}\)?) i sprawdzić, czy to zachodzi dla średniej z moich liczb.