Rozwiązać równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
hoppey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 mar 2020, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Rozwiązać równanie

Post autor: hoppey » 19 mar 2020, o 13:29

Witam
Chciałbym się dowiedzieć w jaki sposób rozwiązać równanie tego typu:
\(\displaystyle{ z^{4} = \frac{-18}{1+ i\cdot \sqrt{3} }}\)

Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 19 mar 2020, o 15:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2868
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 939 razy

Re: Rozwiązać równanie

Post autor: Janusz Tracz » 19 mar 2020, o 13:39

Sposobów jest wiele ja uważam, że tu wygodne było by policzenie (dowolnego) pierwiastka \(\displaystyle{ 4}\) stopnia z \(\displaystyle{ \frac{-18}{1+ i \sqrt{3} }}\) i przemnożenie go przez \(\displaystyle{ i,i^2,i^3}\) co odpowiadało by obrotowi na kole jednostkowym. Ogólnie \(\displaystyle{ z_0= \frac{3}{2} +i \frac{ \sqrt{3} }{2} }\) jest taką liczbą, ze \(\displaystyle{ z_0^4=z}\) więc \(\displaystyle{ z_0i,z_0i^2,z_0i^3}\) też są pierwiastkami.
jak wpaść na z_0:    

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5852
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Rozwiązać równanie

Post autor: janusz47 » 20 mar 2020, o 14:54

\(\displaystyle{ z^4 = \frac{-18}{1 + i\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ z^4 =\frac{-18(1 -i\sqrt{3})}{(1 +i\sqrt{3})(1 -i\sqrt{3})} = \frac{-18(1 - i\sqrt{3})}{4} = -\frac{9}{2} ( 1 - i\sqrt{3}) }\)

\(\displaystyle{ z = \sqrt[4]{-\frac{9}{2}} \sqrt[4]{1 -i\sqrt{3}}. }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = \sqrt[4]{-\frac{9}{2}}\sqrt[4]{2} \left[\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right] = \sqrt[4]{-9}\left[\frac{1}{2}- i \frac{\sqrt{3}}{2}\right] = \frac{i\sqrt{3}}{2} \left(1 - i\sqrt{3} \right ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \sqrt{3} + i \right) = \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ z_{2} = ...}\)

\(\displaystyle{ z_{3}=...}\)

\(\displaystyle{ z_{4}=...}\)

Dodano po 14 minutach 14 sekundach:
Jak zauważył Janusz Tracz , każde następne rozwiązanie różni się od poprzedniego miarą kąta \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. }\) Znajdujemy je, mnożąc rozwiązanie poprzednie przez jednostkę urojoną \(\displaystyle{ i. }\)

ODPOWIEDZ