Matematyka.pl

Witam, mam do zbadania zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego:
\(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{2n}{(x+n)^2} }\)

Funkcja graniczna wyszła mi \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), i teraz badam zbieżność jednostajną, zatem szukam supremum z \(\displaystyle{ | \frac{2n}{(x+n)^2} - 0| }\)
Wychodzi mi że funkcja ta nie ma supremum, czy to oznacza, że ciąg funkcyjny nie jest jednostajnie zbieżny?

Istotnie, nie jest. Funkcję graniczną obliczyłaś poprawnie, no a przy ustalonym \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) mamy \(\displaystyle{ \sup_{x\in \RR}\left|\frac{2n}{(x+n)^{2}}-0\right|=\infty}\) (by się o tym przekonać, wystarczy wziąć ciąg argumentów różnych od \(\displaystyle{ -n}\) zbieżny do \(\displaystyle{ -n}\)), więc nie ma mowy o zbieżności jednostajnej.

Premislav pisze: 14 mar 2020, o 15:51 Istotnie, nie jest. Funkcję graniczną obliczyłaś poprawnie, no a przy ustalonym \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) mamy \(\displaystyle{ \sup_{x\in \RR}\left|\frac{2n}{(x+n)^{2}}-0\right|=\infty}\) (by się o tym przekonać, wystarczy wziąć ciąg argumentów różnych od \(\displaystyle{ -n}\) zbieżny do \(\displaystyle{ -n}\)), więc nie ma mowy o zbieżności jednostajnej.

Dobrze, a teraz mam drugą część zadania:
\(\displaystyle{ f_n = \frac{x - n}{x + n} }\)
\(\displaystyle{ f'_n(x) = \frac{2n}{(x + n)^2}}\)
Oblicz i porównaj ze sobą\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f'_n(x) = (\lim_{n \to \infty } f_n(x))' }\)
Sformułuj odp. twierdzenie i wyciągnij wnioski.
Czy to nie jest tak, że ten warunek jest spełniony tylko wtedy gdy ciąg funkcyjny pochodnych jest jednostajnie zbieżny oraz ciąg funkcyjny jest punktowo zbieżny?
\(\displaystyle{ f_n --> -1}\)
natomiast co z pochodnymi w tym wypadku?

Pochodna ze stałej to zero, proste. Szczerze to nie widzę, jak z tego można wyciągnąć sformułowanie twierdzenia. Tyle, co w tej materii pokazuje ten przykład, to że zbieżność jednostajna ciągu pochodnych nie jest warunkiem koniecznym, by granica punktowa pochodnej była równa pochodnej granicy punktowej. Ale może szaleju się opiłem.

Wydaje mi się właśnie że to jedyny wniosek jaki można wyciągnąć z w.w rozumowania. Dziękuję bardzo za pomoc