podzielność przez 2^8

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
janko2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 22 lip 2007, o 16:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

podzielność przez 2^8

Post autor: janko2 » 13 paź 2007, o 21:17

Dane są dwie liczby naturalne parzyste k i l, które nie są podzielne przez 4. Uzasadnij, że liczba k^4 - l^4jest podzielna przez 2^8.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

podzielność przez 2^8

Post autor: Piotr Rutkowski » 13 paź 2007, o 21:32

Tutaj też zapomniałeś o jakichś warunkach. Weźmy np. \(\displaystyle{ k=2 l=1}\). Wtedy\(\displaystyle{ k^{4}-l^{4}=16-1=15\neq 2^{8}*k}\)

szablewskil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kruszyny
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 21 razy

podzielność przez 2^8

Post autor: szablewskil » 13 paź 2007, o 21:51

polskimisiek zauwaz ze \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są parzyste.

janko2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 22 lip 2007, o 16:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

podzielność przez 2^8

Post autor: janko2 » 13 paź 2007, o 21:51

ale k i l maja być naturalne pzzrzyste

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

podzielność przez 2^8

Post autor: Piotr Rutkowski » 13 paź 2007, o 22:08

A to sorki, zapomniałem o tym
W takim razie:
\(\displaystyle{ k^{4}-l^{4}=(k^{2}-l^{2})(k^{2}+l^{2})=(k+l)(k-l)(k^{2}+l^{2})}\)
Skoro mamy, że są niepodzielne przez 4, to \(\displaystyle{ k,l=2s \ k=2n+1 k,l=4n+2}\)
Czyli uporządkowując zapisy możemy przyjąć, że:
\(\displaystyle{ k=4q+2}\)
\(\displaystyle{ l=4p+2}\) z tego łatwo udowodnić, że
\(\displaystyle{ 4|(k+l) 4|(k-l) 8|(k^{2}+l^{2}}\)
Hmm, z tego wyszło mi tylko dzielenie przez \(\displaystyle{ 2^{7}}\) No nieważne, ten sposób rozumowania jest z pewnością dobry
Skoro tak, to najłatwiej po prostu podstawić sobie to nasze założenie do równania i wyjdzie nam forma:
\(\displaystyle{ k^{4}-l^{4}=16(q+p+1)(q-p)(2q^{2}+2p^{2}+2p+2q+1)}\) i tu jeszcze należy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ 2|(q-p)}\), co kończy zadanie

ODPOWIEDZ