Zbiory liniowo uporządkowane ciągłe
: 8 mar 2020, o 04:22
Napiszę tu trochę na ten temat.
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nazywamy parę \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), taką, że:
1. \(\displaystyle{ A \cup B=X.}\)
2. dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ b\in B}\), mamy \(\displaystyle{ a<b}\)( Uwaga nierówność jest silna, dzięki temu nie musimy żądać, żeby te dwa zbiory były rozłączne, a i tak takie będą).
3. \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) i \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\}. }\)
Intuicyjnie jest to dowolne 'rozcięcie' zbioru liniowo uporządkowanego na dwie części. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) nazywamy klasą dolną przekroju, zbiór \(\displaystyle{ B}\) klasą górną przekroju.
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) daję skok, gdy klasa dolna przekroju ma element największy, i klasa górna przekroju ma element najmniejszy. Na 'rozcięciu' tych dwóch zbiorów jest więc skok.
Np. w zbiorze liczb naturalnych z naturalnym porządkiem każdy przekrój daję skok. Podobnie w zbiorze liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem. Jednak już nie w zbiorze liczb wymiernych, ani w żadnym zbiorze liniowo uporządkowanym gęstym. Mamy bowiem twierdzenie
Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest gesty, wtedy i tylko wtedy, gdy żaden przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku.
Dowód
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) daję lukę, gdy klasa dolna przekroju nie ma elementu największego, i klasa górna przekroju nie ma elementu najmniejszego. Na 'rozcięciu' tych dwóch zbiorów jest więc luka.
Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) nazywamy ciągłym, gdy żaden przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku (równoważnie jest gęsty), a ponadto żaden przekrój nie daje luki.
Czyli gdy jest gesty, i nie ma w nim 'dziur'.
Udowodnimy teraz twierdzenie:
Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X,\le\right)}\) jest ciągły, wtedy i tylko wtedy, gdy (jest uporządkowany w sposób gęsty, a ponadto każdy niepusty zbiór ograniczony od góry (mający ograniczenie górne) gdy każdy taki podzbiór ma supremum).
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym.
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły. Oznacza to rownież, że żaden przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku, a to równoważnie oznacza gęstość \(\displaystyle{ \left( X,\le\right)}\) . Pokażemy teraz, że każdy niepusty zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) ograniczony od góry ma supremum. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie takim zbiorem. Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od góry, to ma ograniczenie górne \(\displaystyle{ x}\). Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), wtedy również \(\displaystyle{ a\le x}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\), zatem \(\displaystyle{ x}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ x}\) jest jego supremum, czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Możemy zatem założyć, że żadne ograniczenie górne zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie należy do \(\displaystyle{ A}\). Rozważmy parę zbiorów \(\displaystyle{ (B,C)}\), gdzie:
\(\displaystyle{ B= \left\{y\in X: \bigvee _{x\in A} \;\; y \leq x\right\},}\) oraz \(\displaystyle{ C = \left\{y\in X: \bigwedge _{x\in A} \;\; y >x\right\}.}\)
Pierwszy zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest to zbiór takich \(\displaystyle{ y\in X}\), że z jakimkolwiek elementem \(\displaystyle{ x\in A}\) dołączamy do tego zbioru \(\displaystyle{ B}\) wszystkie elementy mniejsze, można powiedzieć jest to domknięcie w dół zbioru \(\displaystyle{ A}\). Drugi zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest to zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Łatwo się przekonać, że \(\displaystyle{ B\supset A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) , więc również \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\} }\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od góry, więc ma ograniczenie górne, więc zbiór \(\displaystyle{ C}\) wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty. Z konstrukcji tych dwóch zbiorów (oraz z tego że porządek jest liniowy) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ B \cup C=X}\). Gdy \(\displaystyle{ b\in B, c\in C}\), wtedy dla pewnego \(\displaystyle{ a\in A}\) mamy \(\displaystyle{ b\le a}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) mamy, że \(\displaystyle{ c>x}\), więc również \(\displaystyle{ c>a \ge b}\), a więc \(\displaystyle{ b<c}\). Otrzymujemy zatem, że para zbiorów \(\displaystyle{ (B,C)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\).
Korzystając z ciągłości wnioskujemy, ze ten przekrój \(\displaystyle{ (B,C)}\) nie daje luki, a zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element największy lub zbiór \(\displaystyle{ C}\) ma element najmniejszy.
Gdy zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element największy \(\displaystyle{ b\in B}\), to jest on supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać, to tak: element \(\displaystyle{ b}\) jest większy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\), czyli jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\), ponieważ \(\displaystyle{ B\supset A}\), więc \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\)( będziemy krócej mówić że góruje nad \(\displaystyle{ A}\)). Pozostaje pokazać, że jest to najmniejsze ograniczenie górne dla \(\displaystyle{ A}\). Jeśli element \(\displaystyle{ x}\) góruję nad \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ a\le x}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in A. }\) Wtedy również \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ B}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ b\in B}\), wtedy dla pewnego \(\displaystyle{ a\in A}\) mamy \(\displaystyle{ b\le a}\), wtedy \(\displaystyle{ a \le x}\) (bo każdy element \(\displaystyle{ a\in A }\) spełnia, że \(\displaystyle{ a\le x}\) ), a więc \(\displaystyle{ b \le x}\). Otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ B}\). Jeżeli zatem\(\displaystyle{ x\in B,}\) to \(\displaystyle{ x}\) jest największy w \(\displaystyle{ B}\), skąd \(\displaystyle{ x=b}\). Jeśli \(\displaystyle{ x\not\in B}\), to \(\displaystyle{ x\in C}\), ponieważ zbiory \(\displaystyle{ (B,C)}\) tworzą przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to na podstawie punktu drugiego, ponieważ \(\displaystyle{ x\in C, b\in B}\), więc \(\displaystyle{ b<x}\), więc\(\displaystyle{ b \le x}\). Otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a więc \(\displaystyle{ b}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A}\).
W pozostałym przypadku, gdy zbiór \(\displaystyle{ C}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ c\in C}\), to jest on supremum dla \(\displaystyle{ A}\). Istotnie, góruje on nad \(\displaystyle{ A}\), gdyż \(\displaystyle{ A\subset B}\), a zbiory \(\displaystyle{ (B,C)}\) tworzą przekrój Dedekinda, a zatem element \(\displaystyle{ c\in C}\) jest większy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\) w szczególności od każdego elementu \(\displaystyle{ A}\), a zatem element \(\displaystyle{ c}\) góruje nad \(\displaystyle{ A}\). Niech elemnt \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ A}\), wtedy również \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ B}\), nie może \(\displaystyle{ x}\) należeć do \(\displaystyle{ B}\), bo wtedy \(\displaystyle{ x}\) byłby elementem największym \(\displaystyle{ B}\), a w \(\displaystyle{ B}\) nie ma elementu największego- sprzeczność. Zatem musi \(\displaystyle{ x\in C}\). Ponieważ \(\displaystyle{ c}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ C}\), więc \(\displaystyle{ c \le x}\). A zatem \(\displaystyle{ c}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a więc \(\displaystyle{ c}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A.\square}\)
\(\displaystyle{ \Longleftarrow }\) Pokażemy teraz wynikanie w drugą stronę( o wiele łatwiejsze):
Pokazemy że \(\displaystyle{ \left( X,\le\right) }\) jest uporządkowany w sposób ciągły. Ponieważ, z założenia, jest gęsty, więc to równoważnie oznacza, że żaden przekrój w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku. Pokażemy, że również żaden przekrój nie daje luki. Niech \(\displaystyle{ (A,B)}\) będzie przekrojem w \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, że on nie daje luki. Z własności przekroju zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są niepuste, zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry przez elementy \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\}}\). Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\) ograniczonym z góry, zatem (na mocy założenia) ma on supremum \(\displaystyle{ a}\). Wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ a\in A}\), to \(\displaystyle{ a}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ A}\), a więc przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daję luki. Jeśli \(\displaystyle{ a\not\in A}\), to \(\displaystyle{ a\in B}\). Pokażemy, że wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ B}\). Niech \(\displaystyle{ b\in B}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ a \le b}\). Mamy \(\displaystyle{ b\in B}\), więc z własności przekroju element \(\displaystyle{ b}\) jest większy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), ponieważ element \(\displaystyle{ a}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A}\), czyli jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ a \le b}\), otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ B}\), a a stąd wnioskujemy, ze przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daję luki. \(\displaystyle{ \square}\)
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nazywamy parę \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), taką, że:
1. \(\displaystyle{ A \cup B=X.}\)
2. dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ b\in B}\), mamy \(\displaystyle{ a<b}\)( Uwaga nierówność jest silna, dzięki temu nie musimy żądać, żeby te dwa zbiory były rozłączne, a i tak takie będą).
3. \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) i \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\}. }\)
Intuicyjnie jest to dowolne 'rozcięcie' zbioru liniowo uporządkowanego na dwie części. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) nazywamy klasą dolną przekroju, zbiór \(\displaystyle{ B}\) klasą górną przekroju.
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) daję skok, gdy klasa dolna przekroju ma element największy, i klasa górna przekroju ma element najmniejszy. Na 'rozcięciu' tych dwóch zbiorów jest więc skok.
Np. w zbiorze liczb naturalnych z naturalnym porządkiem każdy przekrój daję skok. Podobnie w zbiorze liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem. Jednak już nie w zbiorze liczb wymiernych, ani w żadnym zbiorze liniowo uporządkowanym gęstym. Mamy bowiem twierdzenie
Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest gesty, wtedy i tylko wtedy, gdy żaden przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku.
Dowód
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) daję lukę, gdy klasa dolna przekroju nie ma elementu największego, i klasa górna przekroju nie ma elementu najmniejszego. Na 'rozcięciu' tych dwóch zbiorów jest więc luka.
Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) nazywamy ciągłym, gdy żaden przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku (równoważnie jest gęsty), a ponadto żaden przekrój nie daje luki.
Czyli gdy jest gesty, i nie ma w nim 'dziur'.
Udowodnimy teraz twierdzenie:
Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X,\le\right)}\) jest ciągły, wtedy i tylko wtedy, gdy (jest uporządkowany w sposób gęsty, a ponadto każdy niepusty zbiór ograniczony od góry (mający ograniczenie górne) gdy każdy taki podzbiór ma supremum).
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym.
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły. Oznacza to rownież, że żaden przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku, a to równoważnie oznacza gęstość \(\displaystyle{ \left( X,\le\right)}\) . Pokażemy teraz, że każdy niepusty zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) ograniczony od góry ma supremum. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie takim zbiorem. Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od góry, to ma ograniczenie górne \(\displaystyle{ x}\). Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), wtedy również \(\displaystyle{ a\le x}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\), zatem \(\displaystyle{ x}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ x}\) jest jego supremum, czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Możemy zatem założyć, że żadne ograniczenie górne zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie należy do \(\displaystyle{ A}\). Rozważmy parę zbiorów \(\displaystyle{ (B,C)}\), gdzie:
\(\displaystyle{ B= \left\{y\in X: \bigvee _{x\in A} \;\; y \leq x\right\},}\) oraz \(\displaystyle{ C = \left\{y\in X: \bigwedge _{x\in A} \;\; y >x\right\}.}\)
Pierwszy zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest to zbiór takich \(\displaystyle{ y\in X}\), że z jakimkolwiek elementem \(\displaystyle{ x\in A}\) dołączamy do tego zbioru \(\displaystyle{ B}\) wszystkie elementy mniejsze, można powiedzieć jest to domknięcie w dół zbioru \(\displaystyle{ A}\). Drugi zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest to zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Łatwo się przekonać, że \(\displaystyle{ B\supset A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) , więc również \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\} }\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od góry, więc ma ograniczenie górne, więc zbiór \(\displaystyle{ C}\) wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty. Z konstrukcji tych dwóch zbiorów (oraz z tego że porządek jest liniowy) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ B \cup C=X}\). Gdy \(\displaystyle{ b\in B, c\in C}\), wtedy dla pewnego \(\displaystyle{ a\in A}\) mamy \(\displaystyle{ b\le a}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) mamy, że \(\displaystyle{ c>x}\), więc również \(\displaystyle{ c>a \ge b}\), a więc \(\displaystyle{ b<c}\). Otrzymujemy zatem, że para zbiorów \(\displaystyle{ (B,C)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\).
Korzystając z ciągłości wnioskujemy, ze ten przekrój \(\displaystyle{ (B,C)}\) nie daje luki, a zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element największy lub zbiór \(\displaystyle{ C}\) ma element najmniejszy.
Gdy zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element największy \(\displaystyle{ b\in B}\), to jest on supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać, to tak: element \(\displaystyle{ b}\) jest większy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\), czyli jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\), ponieważ \(\displaystyle{ B\supset A}\), więc \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\)( będziemy krócej mówić że góruje nad \(\displaystyle{ A}\)). Pozostaje pokazać, że jest to najmniejsze ograniczenie górne dla \(\displaystyle{ A}\). Jeśli element \(\displaystyle{ x}\) góruję nad \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ a\le x}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in A. }\) Wtedy również \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ B}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ b\in B}\), wtedy dla pewnego \(\displaystyle{ a\in A}\) mamy \(\displaystyle{ b\le a}\), wtedy \(\displaystyle{ a \le x}\) (bo każdy element \(\displaystyle{ a\in A }\) spełnia, że \(\displaystyle{ a\le x}\) ), a więc \(\displaystyle{ b \le x}\). Otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ B}\). Jeżeli zatem\(\displaystyle{ x\in B,}\) to \(\displaystyle{ x}\) jest największy w \(\displaystyle{ B}\), skąd \(\displaystyle{ x=b}\). Jeśli \(\displaystyle{ x\not\in B}\), to \(\displaystyle{ x\in C}\), ponieważ zbiory \(\displaystyle{ (B,C)}\) tworzą przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to na podstawie punktu drugiego, ponieważ \(\displaystyle{ x\in C, b\in B}\), więc \(\displaystyle{ b<x}\), więc\(\displaystyle{ b \le x}\). Otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a więc \(\displaystyle{ b}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A}\).
W pozostałym przypadku, gdy zbiór \(\displaystyle{ C}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ c\in C}\), to jest on supremum dla \(\displaystyle{ A}\). Istotnie, góruje on nad \(\displaystyle{ A}\), gdyż \(\displaystyle{ A\subset B}\), a zbiory \(\displaystyle{ (B,C)}\) tworzą przekrój Dedekinda, a zatem element \(\displaystyle{ c\in C}\) jest większy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\) w szczególności od każdego elementu \(\displaystyle{ A}\), a zatem element \(\displaystyle{ c}\) góruje nad \(\displaystyle{ A}\). Niech elemnt \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ A}\), wtedy również \(\displaystyle{ x}\) góruje nad \(\displaystyle{ B}\), nie może \(\displaystyle{ x}\) należeć do \(\displaystyle{ B}\), bo wtedy \(\displaystyle{ x}\) byłby elementem największym \(\displaystyle{ B}\), a w \(\displaystyle{ B}\) nie ma elementu największego- sprzeczność. Zatem musi \(\displaystyle{ x\in C}\). Ponieważ \(\displaystyle{ c}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ C}\), więc \(\displaystyle{ c \le x}\). A zatem \(\displaystyle{ c}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a więc \(\displaystyle{ c}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A.\square}\)
\(\displaystyle{ \Longleftarrow }\) Pokażemy teraz wynikanie w drugą stronę( o wiele łatwiejsze):
Pokazemy że \(\displaystyle{ \left( X,\le\right) }\) jest uporządkowany w sposób ciągły. Ponieważ, z założenia, jest gęsty, więc to równoważnie oznacza, że żaden przekrój w \(\displaystyle{ X}\) nie daje skoku. Pokażemy, że również żaden przekrój nie daje luki. Niech \(\displaystyle{ (A,B)}\) będzie przekrojem w \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, że on nie daje luki. Z własności przekroju zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są niepuste, zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry przez elementy \(\displaystyle{ B \neq \left\{ \right\}}\). Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\) ograniczonym z góry, zatem (na mocy założenia) ma on supremum \(\displaystyle{ a}\). Wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ a\in A}\), to \(\displaystyle{ a}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ A}\), a więc przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daję luki. Jeśli \(\displaystyle{ a\not\in A}\), to \(\displaystyle{ a\in B}\). Pokażemy, że wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ B}\). Niech \(\displaystyle{ b\in B}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ a \le b}\). Mamy \(\displaystyle{ b\in B}\), więc z własności przekroju element \(\displaystyle{ b}\) jest większy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), ponieważ element \(\displaystyle{ a}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A}\), czyli jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ a \le b}\), otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ B}\), a a stąd wnioskujemy, ze przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daję luki. \(\displaystyle{ \square}\)