wyznaczyć wszystkie funkcje

Zagadnienia dot. funkcji liniowych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 1. stopnia. Układy równań i nierówności liniowych.
arbi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 lut 2007, o 10:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świętochłowice

wyznaczyć wszystkie funkcje

Post autor: arbi » 13 paź 2007, o 20:23

wyznaczyć wszystkie funkcje f:R do R spełnijące równanie

(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)

dla x,y,z,t rzeczywistych
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

wyznaczyć wszystkie funkcje

Post autor: andkom » 13 paź 2007, o 22:57

\(\displaystyle{ (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)}\)
Zauważmy, że równanie to spełnia funkcja stała \(\displaystyle{ f\equiv0}\), funkcja stała \(\displaystyle{ f\equiv\frac12}\) oraz funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\).
Przy dodatkowym założeniu, że funkcja f jest ciągła, można pokazać, że są to jedyne możliwości. Bez założenia o ciągłości nie widzę w tej chwili, jak to jest.

ODPOWIEDZ